Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 202 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

202
Ãëàâà äåâÿòàÿ
§9.2. Òåîðåìà Ïóàññîíà
Åñëè
ψϕ,
- èíòåãðàëû óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà, ïðèíàäëåæàùèå
êëàññó
2
C
, òî
()
ψϕ
,
òàêæå ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì.
Òàê êàê
ψϕ,
- èíòåãðàëû óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà, òî â ñîîòâåò-
ñòâèè ñ (9.1.9) ìîæíî çàïèñàòü
()
0,
=ϕ+
∂
ϕ∂
H
t
,
()
0,
=ψ+
∂
ψ∂
H
t
. (9.2.1)
Òîãäà,
()()()
=ψϕ+ψϕ
∂
∂
H
t
,,,
()()
=ψϕ+
∂
ψ∂
ϕ+
ψ
∂
ϕ∂
=
H
tt
,,,,
()()()()()()
=ψϕ+ψϕ−ψϕ−=
HHH ,,,,,,
()()()()()()
ϕψ+ψϕ+ϕψ=
,,,,,, HHH . (9.2.2)
 ñîîòâåòñòâèè ñ òîæäåñòâîì Ïóàññîíà (9.1.15) ïîñëåäíÿÿ ñòðî÷êà
(9.2.2) ðàâíà íóëþ, òî åñòü
()
ψϕ
,
ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ.
§9.3. Ïðèìåíåíèå èçâåñòíîãî èíòåãðàëà äâèæåíèÿ
 ÷åòâ¸ðòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðåëè ìåòîä (Óèòòåêåðà) ïîíèæåíèÿ
ïîðÿäêà ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþ èçâåñòíîãî èíòåãðàëà äâèæå-
íèÿ, çàìåíÿÿ ïåðâîíà÷àëüíóþ ñèñòåìó
n
óðàâíåíèé äðóãîé, ñ ÷èñëîì
çàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ
1−n
. Â ýòîì ïàðàãðàôå ìû ïîêàæåì, åñëè ïåð-
âîíà÷àëüíàÿ ñèñòåìà
n2
óðàâíåíèé èìååò ãàìèëüòîíîâó ôîðìó, òî, èñ-
ïîëüçóÿ èçâåñòíûé èíòåãðàë äâèæåíèÿ, ìîæíî íå òîëüêî ïîíèçèòü ïî-
ðÿäîê ñèñòåìû, íî
()
12
−
n óðàâíåíèå ñîõðàíèò ãàìèëüòîíîâó ôîðìó,
à îäíî íåò.
Äëÿ óïðîùåíèÿ ïðåäïîëîæèì, ÷òî èíòåãðàë êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ
202                                                       Ãëàâà   äåâÿòàÿ
      §9.2. Òåîðåìà Ïóàññîíà

      Åñëè ϕ, ψ - èíòåãðàëû óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà, ïðèíàäëåæàùèå

êëàññó C2 , òî (ϕ, ψ ) òàêæå ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì.
      Òàê êàê ϕ , ψ - èíòåãðàëû óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà, òî â ñîîòâåò-
ñòâèè ñ (9.1.9) ìîæíî çàïèñàòü
      ∂ϕ                  ∂ψ
         + (ϕ , H ) = 0 ,    + (ψ, H ) = 0 .                      (9.2.1)
      ∂t                  ∂t
      Òîãäà,
      ∂
         (ϕ, ψ ) + ((ϕ, ψ ), H ) =
      ∂t
         ∂ϕ   ∂ψ 
      =  , ψ  +  ϕ,  + ((ϕ, ψ ), H ) =
         ∂t   ∂t 
      = −((ϕ, H ), ψ ) − (ϕ, (ψ, H )) + ((ϕ, ψ ), H ) =
      = (ψ, (ϕ, H )) + (ϕ, (H , ψ )) + (H , (ψ, ϕ )) .       (9.2.2)
       ñîîòâåòñòâèè ñ òîæäåñòâîì Ïóàññîíà (9.1.15) ïîñëåäíÿÿ ñòðî÷êà
(9.2.2) ðàâíà íóëþ, òî åñòü     (ϕ,ψ) ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ.
      §9.3. Ïðèìåíåíèå èçâåñòíîãî èíòåãðàëà äâèæåíèÿ

      ÷åòâ¸ðòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðåëè ìåòîä (Óèòòåêåðà) ïîíèæåíèÿ
ïîðÿäêà ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþ èçâåñòíîãî èíòåãðàëà äâèæå-
íèÿ, çàìåíÿÿ ïåðâîíà÷àëüíóþ ñèñòåìó n óðàâíåíèé äðóãîé, ñ ÷èñëîì
çàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ n − 1 . Â ýòîì ïàðàãðàôå ìû ïîêàæåì, åñëè ïåð-
âîíà÷àëüíàÿ ñèñòåìà 2n óðàâíåíèé èìååò ãàìèëüòîíîâó ôîðìó, òî, èñ-
ïîëüçóÿ èçâåñòíûé èíòåãðàë äâèæåíèÿ, ìîæíî íå òîëüêî ïîíèçèòü ïî-
ðÿäîê ñèñòåìû, íî 2(n − 1) óðàâíåíèå ñîõðàíèò ãàìèëüòîíîâó ôîðìó,
à îäíî íåò.
     Äëÿ óïðîùåíèÿ ïðåäïîëîæèì, ÷òî èíòåãðàë êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ

Страницы