Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 208 стр.

208                                                                Ãëàâà     äåâÿòàÿ

ñòè. Ïóñòü    ρ(x, y ) åñòü «ïëîòíîñòü» ýòîé æèäêîñòè. Ðàññìîòðèì â ìî-
ìåíò âðåìåíè          t = t 0 íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè íåêîòîðóþ ïëîùàäü («äâó-
ìåðíûé îáú¸ì») V (t ) . «Ìàññà æèäêîñòè», íàõîäÿùàÿñÿ íà ýòîé ïëîùà-
äè, âûðàçèòñÿ èíòåãðàëîì

      I (t 0 ) =    ∫∫ ρ(x , y )dx dy
                              0   0     0   0   .                             (9.4.11)
                   V (t 0 )

    «Æèäêîñòü» òå÷¸ò ïî ôàçîâîé ïëîñêîñòè, ñëåäóÿ ëèíèÿì, îïðåäå-
ëÿåìûì óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ (9.4.10). Â ìîìåíò âðåìåíè t ôàçîâûå
òî÷êè, çàíèìàâøèå â ìîìåíò âðåìåíè                  t 0 ïëîùàäü V (t 0 ) , ïåðåäâèíóòñÿ
ïî ôàçîâûì òðàåêòîðèÿì è çàéìóò íîâóþ ïëîùàäü V (t ) . «Ìàññà» ðàñ-
ñìàòðèâàåìîãî äâóìåðíîãî îáú¸ìà â ìîìåíò âðåìåíè t âûðàçèòñÿ èí-
òåãðàëîì

      I (t ) =   ∫∫ ρ(x, y )dxdy .                                            (9.4.12)
                 V (t )

      Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äîïóñêàþò äâóìåð-
íûé ïîëîæèòåëüíûé èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò, åñëè ïëîòíîñòü ρ(x, y )
ýòîé æèäêîñòè ìîæíî ïîäîáðàòü òàê, ÷òîáû ìàññà æèäêîñòè îñòàâàëàñü
ïîñòîÿííîé âî âñ¸ âðåìÿ äâèæåíèÿ, êàêîé áû íà÷àëüíûé äâóìåðíûé
îáú¸ì ìû áû íè âûáðàëè.
      Òàêèì îáðàçîì,                  I (t ) åñòü èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò, åñëè
I (t ) = I (t 0 ) , èëè, ÷òî òîæå ñàìîå,

               ρ(x, y )dxdy = 0 .
      d
      dt V∫∫
                                                                              (9.4.13)
           (t )
     Ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè èíòåãðàëà (9.4.13) îñíîâíîå çàòðóäíåíèå
ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïëîùàäü, ïî êîòîðîé ñîâåðøàåòñÿ èíòåãðèðîâàíèå,
ìåíÿåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. ×òîáû îáîéòè ýòó òðóäíîñòü, ïåðåéä¸ì â
ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè îò ïåðåìåííûõ                    x, y ê ïåðåìåííûì x0 , y0
ñ ïîìîùüþ ÿêîáèàíà