Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 211 стр.

Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà                                               211
     Çàìå÷àíèå.
     Åñëè ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ôàçîâîé ïëîñêîñòüþ ñ ïåðåìåííûìè
q, q& , à íå p, q , òî åñòü åñëè ìû áóäåì èñõîäèòü íå èç óðàâíåíèé Ãà-
ìèëüòîíà, à èç óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, òî òåîðåìà Ëèóâèëëÿ óæå íå áóäåò
èìåòü ìåñòà.
     Îäíàêî ìû ìîæåì óêàçàòü èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò:

                      ∂p    ∂p
                      ∂q&   ∂q           ∂2L
     ∫∫ dpdq =∫∫
     V*          V*
                      ∂q    ∂q
                               dqdq = ∫∫ 2 dqdq& .
                                  &
                                      V* ∂
                                          q&
                                                               (9.5.3)

                      ∂q&   ∂q

     Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî â ïåðåìåííûõ    q, q& ôàçîâàÿ ïëîò-
                                ∂2L
íîñòü óæå íå ïîñòîÿííà, à ðàâíà       . Ïîýòîìó, äëÿ òîãî ÷òîáû óðàâíå-
                                ∂q& 2
íèÿ Ëàãðàíæà äîïóñêàëè èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò, äîñòàòî÷íî, ÷òîáû

∂2L
      áûëî êîíå÷íî è ïîñòîÿííî ïî çíàêó.  ðåàëüíûõ çàäà÷àõ ýòî óñëî-
∂q& 2
âèå îáû÷íî âûïîëíÿåòñÿ.

    Äëÿ áîëåå ÿñíîãî ïîíèìàíèÿ äîñòàòî÷íî àáñòðàêòíîé òåîðåìû
Ëèóâèëëÿ ðàññìîòðèì äâà ïðèìåðà.

     Ïðèìåð 1.

     Ïðîàíàëèçèðîâàòü ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðåìû Ëèóâèëëÿ ãàðìîíè÷åñ-
êîå äâèæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, çàäàííîå óðàâíåíèÿìè:

                      q = a sin (ωt + ϕ ),
     dq
        = p,
     dt

                      p = a cos(ωt + ϕ) .
     dp
        = −q ,
     dt