Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 233 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

233
Òåîðèÿ êîëåáàíèé
Ãëàâà XI
Òåîðèÿ êîëåáàíèé
 ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ ìàëûìè êîëå-
áàíèÿìè ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ïðåäñòàâ-
ëÿþùèå ñîáîé âûäàþùèéñÿ ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ óðàâíåíèé Ëàãðàí-
æà (ñì. ãëàâó III).
§11.1. Ìàëûå êîëåáàíèÿ êîíñåðâàòèâíûõ ñèñòåì
îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ
Ðàññìîòðèì êîíñåðâàòèâíóþ ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ ôóí-
êöèåé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
∑∑
==
=
n
r
n
i
irri
qqaT
11
2
1
&&
(11.1.1)
è ôóíêöèåé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè
()
n
qqqVV
,...,,
21
=
. (11.1.2)
Âûáåðåì íà÷àëî îòñ÷¸òà êîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîëî-
æåíèþ ðàâíîâåñèÿ ñîîòâåòñòâîâàëè çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò 0
1
=q ,
0
2
=q ,, 0=
n
q
. Áåç ïîòåðè îáùíîñòè ìû ìîæåì ïîëîæèòü, ÷òî â íà-
÷àëå êîîðäèíàò
()
00,...,0,0
=
V . Îòìåòèì òàêæå, ÷òî èç óñëîâèÿ ìèíè-
ìóìà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ (óñëîâèå ýêñòðå-
ìóìà ôóíêöèè), âûòåêàåò
0...
21
=
∂
∂
==
∂
∂
=
∂
∂
n
q
V
q
V
q
V
. (11.1.3)
Ðàçëîæèì ôóíêöèþ (11.1.2) â îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàò â ðÿä
Òåéëîðà
Òåîðèÿ êîëåáàíèé                                                   233




              Ãëàâà XI
              Òåîðèÿ êîëåáàíèé
     Â ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ ìàëûìè êîëå-
áàíèÿìè ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ïðåäñòàâ-
ëÿþùèå ñîáîé âûäàþùèéñÿ ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ óðàâíåíèé Ëàãðàí-
æà (ñì. ãëàâó III).

      §11.1. Ìàëûå êîëåáàíèÿ êîíñåðâàòèâíûõ ñèñòåì
             îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ

     Ðàññìîòðèì êîíñåðâàòèâíóþ ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ ôóí-
êöèåé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
           1 n n
     T=      ∑∑ ari q& r q&i
           2 r =1 i =1
                                                               (11.1.1)

è ôóíêöèåé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè
     V = V (q1 , q2 ,..., q n ) .                              (11.1.2)
     Âûáåðåì íà÷àëî îòñ÷¸òà êîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîëî-
æåíèþ ðàâíîâåñèÿ ñîîòâåòñòâîâàëè çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò            q1 = 0 ,
q 2 = 0 , , q n = 0 . Áåç ïîòåðè îáùíîñòè ìû ìîæåì ïîëîæèòü, ÷òî â íà-
÷àëå êîîðäèíàò V (0,0,...,0 ) = 0 . Îòìåòèì òàêæå, ÷òî èç óñëîâèÿ ìèíè-
ìóìà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ (óñëîâèå ýêñòðå-
ìóìà ôóíêöèè), âûòåêàåò
     ∂V ∂V            ∂V
        =     = ... =      = 0.                         (11.1.3)
     ∂q1 ∂q 2         ∂q n
    Ðàçëîæèì ôóíêöèþ (11.1.2) â îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàò â ðÿä
Òåéëîðà

Страницы