Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 234 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

234
Ãëàâà îäèííàäöàòàÿ
()
∑∑∑
===
+
∂∂
∂
+
∂
∂
+=
n
j
n
r
n
i
ir
ir
j
j
qq
qq
V
q
q
V
VV
111
0
2
0
...
2
1
0,...,0,0
,
ñ ó÷¸òîì âûøåñêàçàííîãî, ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè òðåòüåãî è áîëåå âûñî-
êèõ ïîðÿäêîâ ìàëîñòè, ìû ìîæåì çàïèñàòü
∑∑
==
=
n
r
n
i
irri
qqbV
11
2
1
, (11.1.4)
ãäå const
qq
V
b
ir
ri
=
∂∂
∂
=
0
2
.
Òàê êàê constb
ri
= , (11.1.4) åñòü îïðåäåë¸ííî-ïîëîæèòåëüíàÿ,
îäíîðîäíàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò.
Êîýôôèöèåíòû
irri
bb
= íàçîâ¸ì êîýôôèöèåíòàìè óïðóãîñòè.
Îáîáù¸ííûå ñèëû, îòíåñ¸ííûå ê ñîîòâåòñòâóþùèì îáîáù¸ííûì êîîð-
äèíàòàì, áóäóò èìåòü âèä
∑
=
=
∂
∂
=−
n
i
iri
r
r
qb
q
V
Q
1
,
()
n,...,,r 21
=
, (11.1.5)
ãäå
r
Q
- âîññòàíàâëèâàþùèå ñèëû, îáóñëîâëåííûå îòêëîíåíèÿìè ìåõà-
íè÷åñêîé ñèñòåìû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàëîæåííûå íà ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê
ñâÿçè íå çàâèñÿò ÿâíî îò âðåìåíè. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, çàäàííàÿ ðà-
âåíñòâîì (11.1.1) áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé îäíîðîäíóþ êâàäðàòè÷íóþ
ôóíêöèþ îò îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé, à êîýôôèöèåíòû
ri
a
áóäåì ñ÷è-
òàòü ôóíêöèÿìè îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò. Ïîëàãàÿ îáîáù¸ííûå ñêîðîñ-
òè ìàëûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà, ðàçëîæèì
ri
a
â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè
òî÷êè 0
1
=q , 0
2
=q ,, 0=
n
q
, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì:
234                                                        Ãëàâà       îäèííàäöàòàÿ

                             n           
                                   ∂V                           2          
                                           q j + 1 ∑∑  ∂ V
                                                      n    n
       V = V (0,0,...,0 ) + ∑                                               q r qi + ... ,
                                 
                            j =1  ∂q j
                                          
                                          0      2 r =1 i =1  ∂q r ∂qi    0
ñ ó÷¸òîì âûøåñêàçàííîãî, ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè òðåòüåãî è áîëåå âûñî-
êèõ ïîðÿäêîâ ìàëîñòè, ìû ìîæåì çàïèñàòü
             1 n n
       V=      ∑∑ bri qr qi ,
             2 r =1 i =1
                                                                                    (11.1.4)


              ∂ 2V      
ãäå   bri =             = const .
              ∂qr ∂qi    0
       Òàê êàê    bri = const , (11.1.4) åñòü îïðåäåë¸ííî-ïîëîæèòåëüíàÿ,
îäíîðîäíàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò.
       Êîýôôèöèåíòû          bri = bir íàçîâ¸ì êîýôôèöèåíòàìè óïðóãîñòè.
Îáîáù¸ííûå ñèëû, îòíåñ¸ííûå ê ñîîòâåòñòâóþùèì îáîáù¸ííûì êîîð-
äèíàòàì, áóäóò èìåòü âèä

                 ∂V    n
        − Qr =      = ∑ bri qi ,                 (r = 1,2 ,...,n ) ,                (11.1.5)
                 ∂qr i =1
ãäå Qr - âîññòàíàâëèâàþùèå ñèëû, îáóñëîâëåííûå îòêëîíåíèÿìè ìåõà-
íè÷åñêîé ñèñòåìû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
     Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàëîæåííûå íà ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê
ñâÿçè íå çàâèñÿò ÿâíî îò âðåìåíè. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, çàäàííàÿ ðà-
âåíñòâîì (11.1.1) áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé îäíîðîäíóþ êâàäðàòè÷íóþ
ôóíêöèþ îò îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé, à êîýôôèöèåíòû                         a ri áóäåì ñ÷è-
òàòü ôóíêöèÿìè îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò. Ïîëàãàÿ îáîáù¸ííûå ñêîðîñ-
òè ìàëûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà, ðàçëîæèì                a ri â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè
òî÷êè    q1 = 0 , q 2 = 0 , , q n = 0 , â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì:

Страницы