Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 236 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

236
Ãëàâà îäèííàäöàòàÿ
ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî qq
&
, è q
&&
.  ýòîì è çàêëþ÷àåòñÿ ñóòü
ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ, êîòîðîå áóäåò òåì òî÷íåå, ÷åì ìåíüøå áóäåò
çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé
C
èç (11.1.8).
Ó÷èòûâàÿ íåçàâèñèìîñòü êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè îò îáîáù¸ííûõ
êîîðäèíàò, 0=
∂
∂
r
q
T
, çàïèøåì óðàâíåíèå Ëàãðàíæà äëÿ ìàëûõ êîëåáà-
íèé
rr
q
V
q
T
dt
d
∂
∂
−=
∂
∂
&
,
()
n,...,,r 21
=
. (11.1.11)
Ñ ïîìîùüþ (11.1.7) âûðàçèì
r
q
T
&
∂
∂
:
∑
=
=
∂
∂
n
i
iri
r
qm
q
T
1
&
,
()
n,...,,r 21
=
. (11.1.12)
Àíàëîãè÷íî èç (11.1.4) ïîëó÷èì
∑
=
=
∂
∂
n
i
iri
r
qb
q
V
1
,
()
n,...,,r 21
=
. (11.1.13)
Ðàâåíñòâà (11.1.11) òåïåðü çàïèøóòñÿ òàê:
∑∑
==
=+
n
i
iri
n
i
iri
qbqm
11
0
&&
,
()
n,...,,r 21
=
. (11.1.14)
Îáîçíà÷èì ìàòðèöó
()
ri
m
÷åðåç M , ìàòðèöó
()
ri
b
- ÷åðåç B , âåê-
òîð (ìàòðèöó-ñòîëáåö)
{}
n
q,...,q,q
21
- ÷åðåç
q
, òîãäà óðàâíåíèÿ (11.1.14)
ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå:
0BqqM =+
&&
. (11.1.15)
Åñëè õîòÿ áû îäíà èç êâàäðàòè÷íûõ ôîðì (â äàííîì ñëó÷àå êèíå-
òè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ (11.1.7)) îïðåäåë¸ííî-ïîëîæèòåëüíàÿ, ôîðìû (11.1.4)
è (11.1.7) ñ ïîìîùüþ äåéñòâèòåëüíîãî íåîñîáåííîãî ëèíåéíîãî ïðåîá-
236                                                         Ãëàâà       îäèííàäöàòàÿ

ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî q, q& è q
                                     && .  ýòîì è çàêëþ÷àåòñÿ ñóòü
ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ, êîòîðîå áóäåò òåì òî÷íåå, ÷åì ìåíüøå áóäåò
çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé C èç (11.1.8).
     Ó÷èòûâàÿ íåçàâèñèìîñòü êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè îò îáîáù¸ííûõ
               ∂T
êîîðäèíàò,         = 0 , çàïèøåì óðàâíåíèå Ëàãðàíæà äëÿ ìàëûõ êîëåáà-
               ∂qr
íèé

      d  ∂T              ∂V
                    = −     , (r = 1,2 ,..., n ) .                       (11.1.11)
      dt  ∂q& r         ∂qr

                                               ∂T
      Ñ ïîìîùüþ (11.1.7) âûðàçèì                     :
                                               ∂q& r

      ∂T    n
         = ∑ mri q&i ,            (r = 1,2 ,...,n ) .                       (11.1.12)
      ∂qr i =1
      Àíàëîãè÷íî èç (11.1.4) ïîëó÷èì

      ∂V    n
         = ∑ bri qi ,                     (r = 1,2 ,...,n ) .               (11.1.13)
      ∂qr i =1
      Ðàâåíñòâà (11.1.11) òåïåðü çàïèøóòñÿ òàê:
       n                n

      ∑m     ri qi + ∑ bri qi = 0 ,
                &&                                (r = 1,2 ,...,n ) .       (11.1.14)
      i =1             i =1

      Îáîçíà÷èì ìàòðèöó    (mri ) ÷åðåç M , ìàòðèöó (bri ) - ÷åðåç B , âåê-
òîð (ìàòðèöó-ñòîëáåö) {q1 , q2 ,..., qn } - ÷åðåç q , òîãäà óðàâíåíèÿ (11.1.14)
ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå:
       && + Bq = 0 .
      Mq                                                  (11.1.15)
      Åñëè õîòÿ áû îäíà èç êâàäðàòè÷íûõ ôîðì (â äàííîì ñëó÷àå êèíå-
òè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ (11.1.7)) îïðåäåë¸ííî-ïîëîæèòåëüíàÿ, ôîðìû (11.1.4)
è (11.1.7) ñ ïîìîùüþ äåéñòâèòåëüíîãî íåîñîáåííîãî ëèíåéíîãî ïðåîá-

Страницы