Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 235 стр.

Òåîðèÿ êîëåáàíèé                                                                        235

                                   n
                                         ∂a           1 n n  ∂ 2 a ri        
      a ri = a ri (0 ,0,..., o ) + ∑  ri        qs + ∑∑                    + ... .
                                   s =1  ∂q s    0    2 s =1 l =1  ∂qs ∂ql    0
     Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå ðàçëîæåíèå â (11.1.1) è îãðàíè÷èâàÿñü ÷ëå-
íàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ
êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè:

            1 n n
     T=       ∑∑ ari (0,0,...,0)q&r q&i .
            2 r =1 i =1
                                                                                   (11.1.6)


     Ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû                a ri (0,0,...,0) = mri áóäåì íàçûâàòü êî-
ýôôèöèåíòàìè èíåðöèè ñèñòåìû. Îêîí÷àòåëüíî (11.1.1) ìîæíî çàïèñàòü
òàê:

            1 n n
     T=       ∑∑ mri q& r q&i .
            2 r =1 i =1
                                                                                   (11.1.7)

     Ðàññìîòðèì èíòåãðàë ýíåðãèè
     T + V = conct = C .                                  (11.1.8)
     Åñëè ñèñòåìà íà÷èíàåò äâèæåíèå â íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè îò
ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñ ìàëîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ, ïîñòîÿííàÿ C
áóäåò ìàëà. Ìàëûìè âî âñ¸ âðåìÿ äâèæåíèÿ áóäóò òàêæå îáîáù¸ííûå
êîîðäèíàòû      q è îáîáù¸ííûå ñêîðîñòè q& , à ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ áó-
äåò óñòîé÷èâûì. Ïîêàæåì ýòî. Ïîñêîëüêó T ≥ 0 , äâèæåíèå ïðîèñõî-
äèò â îáëàñòè
     V ≤C.                                                                         (11.1.9)
     Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî çíà÷åíèÿ                q1 , q 2 ,..., qn îñòàþòñÿ ìàëûìè (â
ñèëó ìàëîñòè C ) âî âñ¸ âðåìÿ äâèæåíèÿ. Ïîñêîëüêó âî âðåìÿ äâèæåíèÿ
V ≥ 0 , ñïðàâåäëèâûì áóäåò è íåðàâåíñòâî
      T ≤C,                                                       (11.1.10)
è, ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíû q&1 , q& 2 ,..., q& n òàêæå áóäóò ìàëûìè. Òàêèì
îáðàçîì, äîñòàòî÷íî õîðîøåå ïðèáëèæåíèå ê äåéñòâèòåëüíîìó äâèæå-
íèþ ìû ñìîæåì ïîëó÷èòü, ñîõðàíèâ â óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ ñëàãàåìûå