Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 237 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

237
Òåîðèÿ êîëåáàíèé
ðàçîâàíèÿ ìîæíî îäíîâðåìåííî ïðèâåñòè ê ñóììàì êâàäðàòîâ ñ ïîëî-
æèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè
1
, ïðè ýòîì ìîæíî íàéòè òàêèå íîâûå êî-
îðäèíàòû
n
,...,,
ξξξ
21
, ñâÿçàííûå ñ
n
q,...,q,q
21
ëèíåéíûìè ñîîòíîøå-
íèÿìè, äëÿ êîòîðûõ ìû ìîæåì çàïèñàòü
()
()
ξλ++ξλ+ξλ=
ξλ++ξλ+ξλ=
.p...ppV
,...T
nnn
nn
222
2
2
22
2
1
2
11
22
22
2
11
2
1
2
1
&&&
(11.1.16)
Êîýôôèöèåíòû
r
λ è
r
p
âåùåñòâåííûå ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿí-
íûå. Ïîäñòàâëÿÿ (11.1.16) â óðàâíåíèå Ëàãðàíæà, ìû óâèäèì, ÷òî ñèñòå-
ìà óðàâíåíèé (11.1.15) ðàñïàä¸òñÿ íà n ïîëíîñòüþ íåçàâèñèìûõ óðàâ-
íåíèé:
0
2
=ξ+ξ
rrr
p
&&
,
()
n,...,,r 21
=
. (11.1.17)
Åñëè â ìîìåíò âðåìåíè
0=t
ïîëîæèòü
rr
α=ξ , à
rr
β=ξ
&
, òî ðå-
øåíèåì (11.1.17) áóäåò
tpsin
p
tpcos
r
r
r
rrr
β
+α=ξ ,
()
n,...,,r 21
=
. (11.1.18)
Êîîðäèíàòû
n
,...,,
ξξξ
21
íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè èëè íîðìàëüíûìè
êîîðäèíàòàìè êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû; êîëåáàíèå, ïðè êîòîðîì èçìå-
íÿåòñÿ ëèøü îäíà ãëàâíàÿ êîîðäèíàòà, à îñòàëüíûå âñ¸ âðåìÿ ðàâíû
íóëþ, íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì êîëåáàíèåì.  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî â
ãëàâíîì êîëåáàíèè ñîîòâåòñòâóþùàÿ ãëàâíàÿ êîîðäèíàòà âîçáóæäåíà,
à îñòàëüíûå êîîðäèíàòû íàõîäÿòñÿ â ïîêîå. Êàê âèäíî èç ôîðìóë
(11.1.17), â r -îì ãëàâíîì êîëåáàíèè êîîðäèíàòà
r
ξ èçìåíÿåòñÿ ïî ãàð-
ìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ïåðèîäîì
r
p
π2
. Âñåãî èìååòñÿ n òàêèõ ïåðèîäîâ,
1
Åôèìîâ Í.Â., Ðîçåíäîðí Ý.Ð., Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ìíîãîìåðíàÿ ãåîìåòðèÿ -
Ì.: Íàóêà, 1970. Ñ.357.
Òåîðèÿ êîëåáàíèé                                                                      237
ðàçîâàíèÿ ìîæíî îäíîâðåìåííî ïðèâåñòè ê ñóììàì êâàäðàòîâ ñ ïîëî-
æèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè1, ïðè ýòîì ìîæíî íàéòè òàêèå íîâûå êî-
îðäèíàòû       ξ1 ,ξ2 ,..., ξn , ñâÿçàííûå ñ q1 , q2 ,..., qn ëèíåéíûìè ñîîòíîøå-
íèÿìè, äëÿ êîòîðûõ ìû ìîæåì çàïèñàòü


      T=
         1 &2
         2
                (                            )
           λ1ξ1 + λ 2 ξ& 22 + ... + λ n ξ& 2n ,
                                                    
                                                    
                                                                              (11.1.16)
      V = (λ1 p1 ξ1 + λ 2 p2 ξ2 + ... + λ n pn ξn ).
         1     2 2           2 2                2 2 

         2                                           
     Êîýôôèöèåíòû λ r è pr âåùåñòâåííûå ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿí-
íûå. Ïîäñòàâëÿÿ (11.1.16) â óðàâíåíèå Ëàãðàíæà, ìû óâèäèì, ÷òî ñèñòå-
ìà óðàâíåíèé (11.1.15) ðàñïàä¸òñÿ íà n ïîëíîñòüþ íåçàâèñèìûõ óðàâ-
íåíèé:
      &ξ& + p 2 ξ = 0 ,
         r   r r                      (r = 1,2 ,...,n ) .                      (11.1.17)

    Åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ïîëîæèòü                   ξ r = α r , à ξ& r = β r , òî ðå-
øåíèåì (11.1.17) áóäåò
                             βr
      ξ r = α r cos pr t +      sin pr t ,       (r = 1,2 ,...,n ) .           (11.1.18)
                             pr
      Êîîðäèíàòû       ξ1 ,ξ2 ,...,ξn íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè èëè íîðìàëüíûìè
êîîðäèíàòàìè êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû; êîëåáàíèå, ïðè êîòîðîì èçìå-
íÿåòñÿ ëèøü îäíà ãëàâíàÿ êîîðäèíàòà, à îñòàëüíûå âñ¸ âðåìÿ ðàâíû
íóëþ, íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì êîëåáàíèåì.  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî â
ãëàâíîì êîëåáàíèè ñîîòâåòñòâóþùàÿ ãëàâíàÿ êîîðäèíàòà âîçáóæäåíà,
à îñòàëüíûå êîîðäèíàòû íàõîäÿòñÿ â ïîêîå. Êàê âèäíî èç ôîðìóë
(11.1.17), â   r -îì ãëàâíîì êîëåáàíèè êîîðäèíàòà ξr èçìåíÿåòñÿ ïî ãàð-
                                        2π
ìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ïåðèîäîì              . Âñåãî èìååòñÿ n òàêèõ ïåðèîäîâ,
                                        pr

1
 Åôèìîâ Í.Â., Ðîçåíäîðí Ý.Ð., Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ìíîãîìåðíàÿ ãåîìåòðèÿ -
Ì.: Íàóêà, 1970. Ñ.357.

Страницы