Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 250 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

250
Ãëàâà äâåíàäöàòàÿ
Óäàðíûé èìïóëüñ ìû îïðåäåëèëè êàê ïðåäåëüíûé ñëó÷àé äåéñòâèÿ
áîëüøîé ñèëû â òå÷åíèå ìàëîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè, èìåÿ â âèäó íå
ñòðîãèé ìàòåìàòè÷åñêèé ïðåäåë ïðè
0→τ
, à ìàëûé, íî êîíå÷íûé
ïðîìåæóòîê âðåìåíè, òî åñòü ìû èìååì â âèäó ôèçè÷åñêè ìàëûé, à íå
ìàòåìàòè÷åñêè ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè
τ
. Çà âðåìÿ îò
1
t äî τ+
1
t
êîíôèãóðàöèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íå èçìåíèòüñÿ, à ñêîðîñòü
â ìîìåíò âðåìåíè
1
t èçìåíèòñÿ ñêà÷êîì. Ïîñêîëüêó â äàííîì ñëó÷àå
ïðèñóòñòâóþò ëèøü óäàðíûå ñèëû, êîîðäèíàòû áóäóò ñîõðàíÿòü ïîñòî-
ÿííûå çíà÷åíèÿ, ñêîðîñòè â ìîìåíò âðåìåíè 0
1
−t áóäåì ñ÷èòàòü çà-
äàííûìè, à ñêîðîñòè â ìîìåíò âðåìåíè 0
1
+t òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü.
Òàê êàê êîîðäèíàòà x â õîäå ðåøåíèÿ íàøåé çàäà÷è ñ÷èòàåòñÿ íåèçìåí-
íîé, çàìåíèì
x
&
íà
u
.
Óðàâíåíèÿ (12.1.2) è (12.1.3) âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè óðàâíå-
íèÿìè äëÿ êîîðäèíàò
z,y
îáðàçóþò ñèñòåìó óðàâíåíèé
()
()
()
=−
=−
=−
,Rwwm
,Qvvm
,Puum
0
0
0
(12.1.4)
ãäå
{
}
R,Q,P - ñîñòàâëÿþùèå óäàðíîãî èìïóëüñà, äåéñòâóþùåãî íà
ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó â ìîìåíò âðåìåíè
1
t ,
{}
000
w,v,u - ñîñòàâëÿþùèå
ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè 0
1
−t (òî åñòü íåïîñ-
ðåäñòâåííî ïåðåä ïðèëîæåíèåì èìïóëüñà), à
{}
w,v,u - ñîñòàâëÿþùèå
ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè 0
1
+t (òî åñòü íåïîñ-
ðåäñòâåííî ïîñëå ïðèëîæåíèÿ èìïóëüñà). Åñëè ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ïå-
ðåä ïðèëîæåíèåì èìïóëüñà ïîêîèëàñü, òî óðàâíåíèÿ (12.1.4) ïðèìóò âèä
Pmu = , Qmv = , Rmw = . (12.1.5)
Îáîçíà÷èì ÷åðåç X
′
ðåàêöèþ ñâÿçè, äåéñòâóþùóþ â òå÷åíèè âðå-
250                                              Ãëàâà     äâåíàäöàòàÿ
    Óäàðíûé èìïóëüñ ìû îïðåäåëèëè êàê ïðåäåëüíûé ñëó÷àé äåéñòâèÿ
áîëüøîé ñèëû â òå÷åíèå ìàëîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè, èìåÿ â âèäó íå
ñòðîãèé ìàòåìàòè÷åñêèé ïðåäåë ïðè τ → 0 , à ìàëûé, íî êîíå÷íûé
ïðîìåæóòîê âðåìåíè, òî åñòü ìû èìååì â âèäó ôèçè÷åñêè ìàëûé, à íå
ìàòåìàòè÷åñêè ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè τ . Çà âðåìÿ îò t1 äî t1 + τ
êîíôèãóðàöèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íå èçìåíèòüñÿ, à ñêîðîñòü
â ìîìåíò âðåìåíè t1 èçìåíèòñÿ ñêà÷êîì. Ïîñêîëüêó â äàííîì ñëó÷àå
ïðèñóòñòâóþò ëèøü óäàðíûå ñèëû, êîîðäèíàòû áóäóò ñîõðàíÿòü ïîñòî-
ÿííûå çíà÷åíèÿ, ñêîðîñòè â ìîìåíò âðåìåíè       t1 − 0 áóäåì ñ÷èòàòü çà-
äàííûìè, à ñêîðîñòè â ìîìåíò âðåìåíè        t1 + 0 òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü.
Òàê êàê êîîðäèíàòà  x â õîäå ðåøåíèÿ íàøåé çàäà÷è ñ÷èòàåòñÿ íåèçìåí-
íîé, çàìåíèì x& íà u .
    Óðàâíåíèÿ (12.1.2) è (12.1.3) âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè óðàâíå-
íèÿìè äëÿ êîîðäèíàò y , z îáðàçóþò ñèñòåìó óðàâíåíèé

      m(u − u0 ) = P , 
                       
      m(v − v0 ) = Q ,                                          (12.1.4)
      m(w − w0 ) = R ,

ãäå {P , Q , R } - ñîñòàâëÿþùèå óäàðíîãî èìïóëüñà, äåéñòâóþùåãî íà
ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó â ìîìåíò âðåìåíè t1 , {u0 , v0 , w0 } - ñîñòàâëÿþùèå

ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè        t1 − 0 (òî åñòü íåïîñ-
ðåäñòâåííî ïåðåä ïðèëîæåíèåì èìïóëüñà), à      {u , v , w } - ñîñòàâëÿþùèå
ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè t1 + 0 (òî åñòü íåïîñ-
ðåäñòâåííî ïîñëå ïðèëîæåíèÿ èìïóëüñà). Åñëè ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ïå-
ðåä ïðèëîæåíèåì èìïóëüñà ïîêîèëàñü, òî óðàâíåíèÿ (12.1.4) ïðèìóò âèä
      mu = P , mv = Q , mw = R .                                 (12.1.5)
      Îáîçíà÷èì ÷åðåç      X ′ ðåàêöèþ ñâÿçè, äåéñòâóþùóþ â òå÷åíèè âðå-

Страницы