Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 295 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

295
Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî
2
2
2
dt
ds
v = .
Ïóñòü íà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó åäèíè÷íîé ìàññû äåéñòâóåò ñèëà ñ
ñîñòàâëÿþùèìè
Z,Y,X
ïî ãëàâíûì íàïðàâëåíèÿì, òîãäà ðàáîòà ýòîé
ñèëû íà âèðòóàëüíîì ïåðåìåùåíèè áóäåò
γ+β+α ZCdYBdXAd
. (Ï5.3)
Óðàâíåíèå Ëàãðàíæà äëÿ α -íàïðàâëåíèÿ ïðèìåò âèä
()
XA
C
C
B
B
A
AA
dt
d
=
γ
α∂
∂
+β
α∂
∂
+α
α∂
∂
−α
2222
&
&
&&
. (Ï5.4)
Ñîñòàâëÿþùàÿ óñêîðåíèÿ äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè åäèíè÷íîé ìàñ-
ñû âäîëü α -íàïðàâëåíèÿ çàïèøåòñÿ â âèäå
()
γ
α∂
∂
+β
α∂
∂
+α
α∂
∂
−α=
2222
1
&
&
&&
C
C
B
B
A
AA
dt
d
A
X , (Ï5.5)
èëè â áîëåå ïîäðîáíîé çàïèñè:
.
C
C
B
B
A
A
A
CBA
AX
γ
α∂
∂
+β
α∂
∂
+α
α∂
∂
−
−
γ
α∂
∂
+β
α∂
∂
+α
α∂
∂
α+α=
222
1
2
&
&
&
&
&
&&&&
(Ï5.6)
Ñîñòàâëÿþùèå óñêîðåíèÿ ïî íàïðàâëåíèÿì
β
è
γ
âûðàæàþòñÿ
àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.
Ïðèâåä¸ì âûðàæåíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ óñêîðåíèÿ äëÿ öèëèíäðè÷åñ-
êèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàò.
1. Öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû z,,r θ .
Êâàäðàò ëèíåéíîãî ýëåìåíòà
ds
â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ
èìååò âèä
22222
dzdrdrds +θ+= . (Ï5.7)
Ïîëàãàÿ 1=A , rB = ,
1=C
, r=α ,
θ=β
, z=γ , ñ ïîìîùüþ
                                                                295

                                ds 2
    Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî   v2 =        .
                                dt 2
    Ïóñòü íà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó åäèíè÷íîé ìàññû äåéñòâóåò ñèëà ñ
ñîñòàâëÿþùèìè X ,Y , Z ïî ãëàâíûì íàïðàâëåíèÿì, òîãäà ðàáîòà ýòîé
ñèëû íà âèðòóàëüíîì ïåðåìåùåíèè áóäåò
     XAdα + YBdβ + ZCdγ .                                    (Ï5.3)
    Óðàâíåíèå Ëàãðàíæà äëÿ       α -íàïðàâëåíèÿ ïðèìåò âèä
                   ∂A & 2  ∂B & 2  ∂C 2 
     d 2
        (A α& ) −  A  α +B    β +C   γ&  = XA .            (Ï5.4)
     dt            ∂α      ∂α      ∂α 
     Ñîñòàâëÿþùàÿ óñêîðåíèÿ äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè åäèíè÷íîé ìàñ-
ñû âäîëü α -íàïðàâëåíèÿ çàïèøåòñÿ â âèäå

            1 d 2         ∂A & 2  ∂B & 2  ∂C 2  
     X =       (A α& ) −  A  α +B    β +C   γ&   , (Ï5.5)
            A  dt         ∂α      ∂α      ∂α  
èëè â áîëåå ïîäðîáíîé çàïèñè:

                      ∂A      ∂B & ∂C 
          && + 2α& 
     X = Aα              α& +    β+      γ&  −
                     ∂α      ∂α    ∂α 
                                                             (Ï5.6)
               1  ∂A 2           ∂B & 2        ∂C 2 
             − A          α& + B    β +C         γ& .
               A  ∂α             ∂α            ∂α 

     Ñîñòàâëÿþùèå óñêîðåíèÿ ïî íàïðàâëåíèÿì β è γ âûðàæàþòñÿ
àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.
     Ïðèâåä¸ì âûðàæåíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ óñêîðåíèÿ äëÿ öèëèíäðè÷åñ-
êèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàò.
    1. Öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû r , θ, z .
    Êâàäðàò ëèíåéíîãî ýëåìåíòà ds â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ
èìååò âèä
    ds 2 = dr 2 + r 2 dθ2 + dz 2 .                             (Ï5.7)
    Ïîëàãàÿ A = 1 , B = r , C = 1 , α = r , β = θ , γ = z , ñ ïîìîùüþ

Страницы