Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 68 стр.

68                                                                     Ãëàâà     òðåòüÿ

                                               dx r
     Ñîñòàâèì âûðàæåíèÿ äëÿ                         ,
                                                dt
                 n
                       ∂x r ∂qi ∂x r
               ∑ ∂q
      dx r
           =                   +     , r = 1,2,..., N ,
       dt       i =1      i ∂t   ∂t

                          ∂x r ∂t ∂x r
çäåñü ó÷òåíî, ÷òî                =     .
                           ∂t ∂t   ∂t
     Èëè
                n
                       ∂x r            ∂x r
      x& r =   ∑ ∂q
               i =1       i
                              q& i +
                                        ∂t
                                            , r = 1,2,..., N ,                  (3.1.2)


îòêóäà âèäíî, ÷òî ïðîèçâîäíûå x& r ñâÿçàíû ñ q& ëèíåéíûìè ñîîòíîøå-
íèÿìè, êîýôôèöèåíòû â êîòîðûõ çàâèñÿò îò q1 , q2 ,.., qn , t .
    Ðàññìîòðèì äâå ëåììû.

     Ëåììà 1.
      ∂x& r ∂x r
           =     .                                                              (3.1.3)
      ∂q& i ∂qi
Äîêàçàòåëüñòâî (3.1.3) î÷åâèäíî.

              ∂x r
      ∂x& r        ∂x
            = ∂t = r .
      ∂q& i ∂qi ∂q i
               ∂t

     Ëåììà 2.

      ∂x& r d  ∂x r          
           =                  .                                              (3.1.4)
      ∂qi dt  ∂qi            
     Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (3.1.4) ðàñïèøåì ñ ó÷¸òîì (3.1.2) ëåâóþ ÷àñòü
ðàâåíñòâà ïîäðîáíî, ïîíèìàÿ ïîä èíäåêñàìè                        r è i êîíêðåòíûå ôèêñè-