Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 67 стр.

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà                                                            67




                 Ãëàâà III
                 Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà
      ýòîé ãëàâå ìû âíîâü âîçâðàùàåìñÿ ê ïîíÿòèÿì îáîáù¸ííûõ êî-
îðäèíàò è îáîáù¸ííûõ ñèë (ñì. §§ 1.6. è 1.7.), ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ñî-
ñòàâëÿåòñÿ ÷åòâ¸ðòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ. Ðàññìîòðèì òàêæå
óðàâíåíèå Ëàãðàíæà è ôóíêöèþ Ëàãðàíæà, èíòåãðàë ßêîáè, îáîáù¸í-
íûé ïîòåíöèàë.


        §3.1. ×åòâ¸ðòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

     ×åòâ¸ðòóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòå-
ðèàëüíûõ òî÷åê â îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàòàõ, ìû ïîëó÷èì èç îñíîâíîãî
óðàâíåíèÿ
        N

       ∑ (mx&&
        r =1
                 r   − X r )δx r = 0 .                                  (2.1.6)

     Ïðèñòóïàÿ ê âûâîäó, ñëåäóåò âûáðàòü îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû.
Îíè äîëæíû îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿòü ïîëîæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ
òî÷åê è áûòü íåçàâèñèìûìè ìåæäó ñîáîé.  îñòàëüíîì âûáîð îáîáùåí-
íûõ êîîðäèíàò ïðîèçâîëåí. Çäåñü ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè «óäà÷íîì»
âûáîðå îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ áóäóò èìåòü íàè-
áîëåå êîìïàêòíûé âèä. Ðåøåíèÿ çàäà÷ ¹¹10-14 è åñòü ïðèìåðû òàêèõ
«óäà÷íûõ» âûáîðîâ îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò.
    Âûáðàâ îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû q1 , q2 ,..., qn âûðàçèì äåêàðòîâû
êîîðäèíàòû ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ÷åðåç ýòè îáîáù¸ííûå êîîð-
äèíàòû
        x r = x r (q1 , q 2 ,..., q n , t ) , r = 1,2,..., N ,          (3.1.1)

ãäå   x r = x r (q1 , q 2 ,..., q n , t ) ïðèíàäëåæàò êëàññó C 2 â ñîîòâåòñòâóþùåé
îáëàñòè D èçìåíåíèÿ q1 , q2 ,.., qn , t .