Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 69 стр.

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà                                                                                                 69

ðîâàííûå çíà÷åíèÿ, à èíäåêñ                            j = 1,2, ,..., N .
        ∂x& r       n
                            ∂ 2 xr         ∂ 2 xr
        ∂qi
              =    ∑ j     ∂qi ∂q j
                                    q& j +
                                           ∂qi ∂t
                                                  =

                                                  n
                                                        ∂ 2 xr                ∂ 2 xr  d  ∂x          
                                              =   ∑ ∂q ∂q
                                                   j      i      j
                                                                     q& j +          =  r
                                                                              ∂t∂qi dt  ∂qi
                                                                                                       ,
                                                                                                       
òàê êàê     x r = x r (q1 , q 2 ,..., q n , t ) ∈ C 2 â îáëàñòè D , è ìû ìîæåì ïîìå-
íÿòü ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.
     Âîçüì¸ì òåïåðü óðàâíåíèå (2.4.3) äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
                    n

                   ∑ m x&
               1
        T=                  r
                                2
                                r                                                                            (2.4.3)
               2   r =1

è ïîäñòàâèì âìåñòî x& r å¸ çíà÷åíèå èç (3.1.2):
                                                                                      2
                    n                        n
                                                       n ∂x r        ∂x 
                   ∑                         ∑          ∑
           1                             1
        T=                m r x& r2 =             m r          q&i + r  .                                (3.1.5)
           2       r =1                  2   r =1      i =1 ∂qi       ∂t 
      Ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ïîëèíîì
 ~
T âòîðîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî q&1 , q& 2 ,..., q& n ñ êîýôôèöèåíòàìè, çàâè-
                                             ~
ñÿùèìè îò q1 , q 2 ,.., qn , t . Îáîçíà÷åíèå T âûáðàíî ëèøü òîëüêî äëÿ òîãî,
                                                                       ~
÷òîáû îòëè÷àòü çíà÷åíèÿ äëÿ T èç ôîðìóëû (2.4.3) îò çíà÷åíèé T èç
                                               ~
ôîðìóëû (3.1.5). Ïðåäñòàâèì ïîëèíîì T òàê:
     ~
     T = T2 + T1 + T0 ,                                            (3.1.6)
ãäå T   2   îáîçíà÷àåò îäíîðîäíóþ êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ îò q& :
                     n           n      n
                                             ∂x r ∂x r                        n   n

                   ∑ ∑∑                                                   ∑∑ a
               1                                                   1
        T2 =               mr                          q& i q& j =                          & & ,
                                                                                          ri q r qi          (3.1.7)
               2    r =1        i =1    j =1 ∂qi ∂q j              2      r =1 i =1

ãäå