Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 71 стр.

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà                                                                                     71

       Ïîäñòàâèì â (2.1.6) âìåñòî δx r åãî çíà÷åíèå â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.6.14)
                    n
                        ∂x r
       δx r =   ∑ ∂q
                i =1          i
                                  δqi ,   r = 1,2,..., N ,                                       (1.6.14)

ïîëó÷èì
 N
                   ∂x     n                    n
                                                 ∂x     N
                                                                                 
∑ (mx&&r − X r )⋅ ∑ r δqi = ∑ ∑ (mr &x&r − X r ) r δqi = 0 .
r =1                     i =1     ∂qi         i =1    r =1              ∂qi 
                                                                                                 (3.1.11)


                                                                                                     ∂x r
       Ñ ïîìîùüþ ëåìì (3.1.3) è (3.1.4) ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå &x&r                                        .
                                                                                                     ∂qi

              ∂x r d  ∂x r                       d  ∂x      d           ∂x& r           ∂x&
       &x&r       =  x& r                 − x& r  r       =  x& r            − x& r r .
              ∂qi dt  ∂qi                       dt  ∂qi     dt         ∂q& i           ∂qi
       Ó÷ò¸ì òàêæå, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.7.2)
         N
                    ∂x r
       ∑X
        r =1
                r
                    ∂qi
                         = Qi ,                                                                  (3.1.12)


ãäå Qi - îáîáù¸ííàÿ ñèëà.
       Òåïåðü êîýôôèöèåíò ïðè δ q i â (3.1.11) ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàê:

                d  ∂x&                             ~       ~
        N
                                    ∂x&       d  ∂T  ∂T
       ∑    mr   x& r r  − x& r r  − Qi =         −   − Qi . (3.1.13)
       r =1     dt  ∂q&i         ∂qi       dt  ∂q&i  ∂qi
    Îêîí÷àòåëüíî îñíîâíîå óðàâíåíèå (2.1.6) ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäó-
þùåì âèäå:


        n    d  ∂T~  ∂T~          
       ∑                −  − Q i  δq i = 0 .                                               (3.1.14)
       i =1  dt  ∂q& i  ∂qi        

       Ýòî è åñòü ÷åòâ¸ðòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ.