Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 72 стр.

72                                                            Ãëàâà    òðåòüÿ
      §3.2. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

      Óðàâíåíèå (3.1.14) ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî âèðòóàëüíîãî ïåðå-
ìåùåíèÿ δq1 , δq2 ,..., δqn . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ
òî÷åê ãîëîíîìíà è ÷èñëî îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò ìèíèìàëüíî, òî åñòü
n = l . Óðàâíåíèå (3.1.14) áóäåò ñïðàâåäëèâî ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ
δq1 , δq2 ,..., δqn , è ìû ìîæåì íàïèñàòü:
             ~        ~
      d  ∂T  ∂T
                −   = Qr ,             r = 1,2,..., n .           (3.2.1)
      dt  ∂q& r  ∂qr
     Ýòè óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ Ëàãðàíæà.
     Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íåãîëîíîì-
íàÿ è ÷èñëî îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò òàê æå ìèíèìàëüíî, òî åñòü n = l + k
( k ÷èñëî óðàâíåíèé ñâÿçåé). Ïîëó÷èì íåîáõîäèìûå óðàâíåíèÿ ñâÿçåé.
Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèÿìè ñâÿçåé (2.7.2):
       n

     ∑A
      i =1
             ri   x& i + Ar = 0 , r = 1,2,..., k ,                    (3.2.2)

êîòîðûå ìû çàïèøåì ñëåäóþùèì îáðàçîì
       n

     ∑A
      i =1
              ri   dx i + Ar dt = 0 .                                 (3.2.3)

     Åñëè òåïåðü â óðàâíåíèÿõ (3.2.3) âìåñòî äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò
ïîäñòàâèòü îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû, ïîëó÷èì
       n

     ∑B
      i =1
             ri dqi   + Br dt = 0 ,        r = 1,2,..., k .           (3.2.4)

     Íàì íåò íåîáõîäèìîñòè íà äàííîì ýòàïå ïîäðîáíî âûïèñûâàòü
êîýôôèöèåíòû â óðàâíåíèÿõ (3.2.4), òàê êàê íàñ ñåé÷àñ èíòåðåñóåò ëèøü
îáùèé ïðèíöèï ñîñòàâëåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ Ëàãðàíæà. Â
äàëüíåéøåì ìû âåðí¸ìñÿ ê ýòîìó âîïðîñó, ðåøàÿ êîíêðåòíûå çàäà÷è.
     Óðàâíåíèå (3.1.14) òåïåðü ñïðàâåäëèâî íå äëÿ ïðîèçâîëüíûõ δq , à
äëÿ δq , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì