Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

87
Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà
22
0
0
titititi
ee
i
ee
ωωωω
ω
θ
θ
−−
−
+
+
=
&
. (3.7.16)
Ïðåîáðàçóåì (3.7.16) ñ ïîìîùüþ ôîðìóë Ýéëåðà
t
i
ee
titi
ω
ωω
sin
2
=
−
−
, t
ee
titi
ω
ωω
cos
2
=
+
−
. (3.7.17)
tt
ω
ω
θ
ωθθ
sincos
0
0
&
+= . (3.7.18)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
δθ
cos
0
A= è
δ
ω
θ
sin
0
A=
&
, (3.7.19)
ãäå A è
δ
- íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå. Òåïåðü óðàâíåíèå (3.7.18) ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå
()()
δωωδωδθ
−=+=
tAttA cossinsincoscos
èëè îêîí÷àòåëüíî
()
δωθ
−=
tAcos . (3.7.20)
Ýòî è åñòü óðàâíåíèå êîëåáàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà.
Èç ôîðìóë (3.7.19) ëåãêî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ A è
δ
:
+=
2
2
0
2
0
ω
θ
θ
&
A ,
0
0
ωθ
θ
δ
&
=tg . (3.7.21)
Åñëè ïîëîæèòü
0=−
δω
t
, ïîëó÷èì
A=
θ
. Íàèáîëüøåå ïî àá-
ñîëþòíîé âåëè÷èíå îòêëîíåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îò ïîëîæåíèÿ ðàâ-
íîâåñèÿ A íàçîâ¸ì àìïëèòóäîé êîëåáàíèé.
Ïðè 0=t
()
δθθ
−==
cos
0
A , ãäå
δ
- íà÷àëüíûé óãîë êîëåáà-
íèÿ èëè ôàçà êîëåáàíèÿ.
Åñëè ïîëîæèòü 0
0
=
θ
&
, òî
0=
δ
è àìïëèòóäà
A
áóäåò ïðîñòî ðàâ-
íà íà÷àëüíîìó îòêëîíåíèþ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíî-
Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà                                                           87

            e iωt + e − iωt θ&0 e iωt − e − iωt
     = θ0                  +                    .                      (3.7.16)
                  2          iω       2
    Ïðåîáðàçóåì (3.7.16) ñ ïîìîùüþ ôîðìóë Ýéëåðà

     e iωt − e − iωt                  e iωt + e − iωt
                     = sin ωt ,                       = cos ωt .       (3.7.17)
           2i                               2
                         θ&0
     θ = θ 0 cos ωt +        sin ωt .                                  (3.7.18)
                         ω
    Ïðåäïîëîæèì, ÷òî

                         θ&0
     θ 0 = A cos δ è         = A sin δ ,                               (3.7.19)
                         ω
ãäå A è δ - íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå. Òåïåðü óðàâíåíèå (3.7.18) ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå
     θ = A(cos δ cos ωt + sin δ sin ωt ) = A cos(ωt − δ )
èëè îêîí÷àòåëüíî
     θ = Acos(ωt − δ ) .                                 (3.7.20)
    Ýòî è åñòü óðàâíåíèå êîëåáàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà.
    Èç ôîðìóë (3.7.19) ëåãêî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ                Aèδ :

               θ&02        θ&
     A = θ +  2  , tgδ = 0 .
               2
                                                                       (3.7.21)
              ω           ωθ 0
               0



    Åñëè ïîëîæèòü ωt − δ = 0 , ïîëó÷èì θ = A . Íàèáîëüøåå ïî àá-
ñîëþòíîé âåëè÷èíå îòêëîíåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îò ïîëîæåíèÿ ðàâ-
íîâåñèÿA íàçîâ¸ì àìïëèòóäîé êîëåáàíèé.
    Ïðè t = 0 θ = θ 0 = A cos(− δ ) , ãäå δ - íà÷àëüíûé óãîë êîëåáà-
íèÿ èëè ôàçà êîëåáàíèÿ.

    Åñëè ïîëîæèòü θ&0       = 0 , òî δ = 0 è àìïëèòóäà A áóäåò ïðîñòî ðàâ-
íà íà÷àëüíîìó îòêëîíåíèþ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíî-

Страницы