Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 86 стр.

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ПсковГУ | Псков

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86
Ãëàâà òðåòüÿ
0
22
=+
ω
k , (3.7.9)
ïîëó÷èì:
ω
ik ±=
. (3.7.10)
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.7.7) çàïèøåì â âèäå
titi
eCeC
ωω
θ
−
+=
21
. (3.7.11)
Ïîñòîÿííûå
1
C è
2
C ìîæíî îïðåäåëèòü, åñëè áóäóò çàäàíû äâà
íà÷àëüíûõ óñëîâèÿ. Ïóñòü â íà÷àëå äâèæåíèÿ ïðè
0=t
êîîðäèíàòà
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì ðàâíà
0
θ
, à å¸ ñêîðîñòü
0
θ
&
. Ïîäñòàâèì ýòè çíà-
÷åíèÿ
θ
è
θ
&
â óðàâíåíèå (3.7.11) è â óðàâíåíèå
()
titi
eCeCi
ωω
ωθ
−
−=
21
&
, (3.7.12)
ïîëó÷åííîå èç (3.7.11) äèôôåðåíöèðîâàíèåì åãî ïî âðåìåíè. Ïîñëå ïîä-
ñòàíîâêè ïîëó÷èì:
210
CC +=
θ
, (3.7.13)
()
210
CCi
−=
ωθ
&
. (3.7.14)
Ñêëàäûâàÿ è âû÷èòàÿ óðàâíåíèÿ (3.7.13) è (3.7.14), ïðåäâàðèòåëü-
íî ðàçäåëèâ (3.7.14) íà
ω
i , ïîëó÷èì:
=−
=+
2
0
0
1
0
0
2
2
C
i
C
i
ω
θ
θ
ω
θ
θ
&
&
. (3.7.15)
Ïîäñòàâèì íàéäåííûå çíà÷åíèÿ
1
C è
2
C â óðàâíåíèå (3.7.11)
=
−+
+=
−
titi
e
i
e
i
ωω
ω
θ
θ
ω
θ
θθ
0
0
0
0
2
1
2
1
&&
86                                                        Ãëàâà      òðåòüÿ

     k2 +ω2 = 0,                                                    (3.7.9)
ïîëó÷èì:
     k = ±iω .                                                      (3.7.10)
     Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.7.7) çàïèøåì â âèäå
     θ = C1e iωt + C2 e − iωt .                                     (3.7.11)

     Ïîñòîÿííûå      C1 è C 2 ìîæíî îïðåäåëèòü, åñëè áóäóò çàäàíû äâà
íà÷àëüíûõ óñëîâèÿ. Ïóñòü â íà÷àëå äâèæåíèÿ ïðè t = 0 êîîðäèíàòà

ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì ðàâíà θ 0 , à å¸ ñêîðîñòü      θ&0 . Ïîäñòàâèì ýòè çíà-
÷åíèÿ θ è θ& â óðàâíåíèå (3.7.11) è â óðàâíåíèå
     θ& = iω (C e iωt − C e − iωt ),
                 1         2                                (3.7.12)
ïîëó÷åííîå èç (3.7.11) äèôôåðåíöèðîâàíèåì åãî ïî âðåìåíè. Ïîñëå ïîä-
ñòàíîâêè ïîëó÷èì:
     θ 0 = C1 + C2 ,                                                (3.7.13)

     θ&0 = iω (C1 − C 2 ) .                                         (3.7.14)
     Ñêëàäûâàÿ è âû÷èòàÿ óðàâíåíèÿ (3.7.13) è (3.7.14), ïðåäâàðèòåëü-
íî ðàçäåëèâ (3.7.14) íà    iω , ïîëó÷èì:

          θ&0         
     θ0 +     = 2C1 
          iω          
                      .                                            (3.7.15)
          θ&0
     θ0 −     = 2C 2 
          iω          

     Ïîäñòàâèì íàéäåííûå çíà÷åíèÿ          C1 è C 2 â óðàâíåíèå (3.7.11)

            1      θ&         1      θ& 
     θ=      θ 0 + 0 e iωt + θ 0 − 0 e −iωt =
            2      iω         2      iω 

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