Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

84
Ãëàâà òðåòüÿ
Ïðèìåíèì ïîëó÷åííûå â äàííîé ãëàâå çíàíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷,
êîòîðûå ìû äëÿ óäîáñòâà èçëîæåíèÿ ïîìåñòèì â ñëåäóþùèé ïàðàãðàô.
§3.7. Ïðèëîæåíèÿ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà
Çàäà÷à 20.
Ïðîñòîé ìàÿòíèê. Ïðîñòîé ìàÿòíèê ìû ðàññìàòðèâàëè â çàäà÷å
¹10. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà Ì èìååò ìàññó m è ìîæåò âìåñòå ñ íåâåñî-
ìûì ñòåðæíåì äëèíû
l
êà÷àòüñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ñîñòàâèòü
óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì2.
Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.
Ðåøåíèå çàäà÷è.
Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ ëàáîðàòîðèåé, ïîìåñòèâ
íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò â òî÷êó Î. Ñäåëà-
åì ÷åðò¸æ.
Äàííàÿ ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê
èìååò îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû.
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ðå-
êîìåíäàöèÿìè, ïðèâåä¸ííûìè â §3.2.
1) Âûáåðåì îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû,
èñïîëüçóÿ ðåøåíèå çàäà÷è 10.
Ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì
áóäåò âïîëíå îïðåäåëÿòüñÿ îäíîé îáîáù¸í-
íîé êîîðäèíàòîé  óãëîì
θ
, òî åñòü
θ
=q
.
Äåêàðòîâû êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíîé òî÷-
êè Ì ìîæíî çàïèñàòü òàê
θ
coslx =
,
θ
sinly = . (3.7.1)
2) Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìàòåðèàëüíîé
òî÷êè Ì. Òàê êàê ìàÿòíèê îáëàäàåò ìîìåíòîì èíåðöèè
O
I
îòíîñèòåëü-
íî òî÷êè ïîäâåñà, ìû ìîæåì âûðàçèòü êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ìàòåðè-
àëüíîé òî÷êè Ì ÷åðåç ýòîò ìîìåíò èíåðöèè, òî åñòü
Î
y
x
mg
M
l
θ
Ðèñ. 13.
Íàéòè
()
tqqf,,
&
Äàíî
m
,
l
84                                                     Ãëàâà     òðåòüÿ
     Ïðèìåíèì ïîëó÷åííûå â äàííîé ãëàâå çíàíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷,
êîòîðûå ìû äëÿ óäîáñòâà èçëîæåíèÿ ïîìåñòèì â ñëåäóþùèé ïàðàãðàô.

       §3.7. Ïðèëîæåíèÿ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà

     Çàäà÷à 20.

    Ïðîñòîé ìàÿòíèê. Ïðîñòîé ìàÿòíèê ìû ðàññìàòðèâàëè â çàäà÷å
¹10. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà Ì èìååò ìàññó m è ìîæåò âìåñòå ñ íåâåñî-
ìûì ñòåðæíåì äëèíû l êà÷àòüñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ñîñòàâèòü
óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì2.

     Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.

Íàéòè           f (q, q& , t )       Ðåøåíèå çàäà÷è.

Äàíî           m,              Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ ëàáîðàòîðèåé, ïîìåñòèâ
               l         íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò â òî÷êó Î. Ñäåëà-
                         åì ÷åðò¸æ.
     Äàííàÿ ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê
èìååò îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû.                                   y
                                             Î
     Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ðå-
êîìåíäàöèÿìè, ïðèâåä¸ííûìè â §3.2.
     1) Âûáåðåì îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû,          θ l
èñïîëüçóÿ ðåøåíèå çàäà÷è 10.
     Ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì                     M
áóäåò âïîëíå îïðåäåëÿòüñÿ îäíîé îáîáù¸í-
                                                         mg
íîé êîîðäèíàòîé – óãëîì θ , òî åñòü q = θ .
                                              x
Äåêàðòîâû êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíîé òî÷-                   Ðèñ. 13.
êè Ì ìîæíî çàïèñàòü òàê
       x = l cos θ , y = l sin θ .                       (3.7.1)
     2) Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìàòåðèàëüíîé
òî÷êè Ì. Òàê êàê ìàÿòíèê îáëàäàåò ìîìåíòîì èíåðöèè       I O îòíîñèòåëü-
íî òî÷êè ïîäâåñà, ìû ìîæåì âûðàçèòü êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ìàòåðè-
àëüíîé òî÷êè Ì ÷åðåç ýòîò ìîìåíò èíåðöèè, òî åñòü

Страницы