Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

83
Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà
∑∑
==
=
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
n
i
n
i
r
i
r
ir
i
i
r
q
V
q
q
V
t
V
q
q
V
11
&&
∑
=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−=
n
i
r
i
r
i
i
r
r
t
V
q
q
V
q
V
q
V
1
&
,
nr,...,2,1=
. (3.6.9)
Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèÿ
r
i
i
r
ri
q
V
q
V
∂
∂
−
∂
∂
=γ
,
nir ,...,2,1, =
. (3.6.10)
Î÷åâèäíî, ÷òî
irri
γ−=γ
. (3.6.11)
Óðàâíåíèÿ (3.6.9) òåïåðü çàïèøóòñÿ òàê
t
V
q
q
V
Q
r
n
i
iri
r
r
∂
∂
+γ+
∂
∂
−=
∑
=
1
&
,
nr ,...,2,1=
. (3.6.12)
Åñëè ôóíêöèÿ
r
V
íå çàâèñèò îò âðåìåíè, òî åñòü
0=
∂
∂
t
V
r
, óðàâíå-
íèÿ (3.6.12) ïðèìóò âèä
∑
=
γ+
∂
∂
−=
n
i
iri
r
r
q
q
V
Q
1
&
,
nr ,...,2,1=
, (3.6.13)
ãäå
∑
=
γ
n
i
iri
q
1
&
- òàê íàçûâàåìûå ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèëû.
Íà îñíîâàíèè âûøåèçëîæåííîãî ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âû-
âîä: åñëè ôóíêöèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè
r
V
íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè,
òî îáîáù¸ííûå ñèëû ñêëàäûâàþòñÿ èç ïîòåíöèàëüíûõ ñèë
∂
∂
−
r
q
V
è ãè-
ðîñêîïè÷åñêèõ ñèë
γ
∑
=
n
i
iri
q
1
&
.
Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà                                                                                                     83

              n
                    ∂Vr      ∂V                           n
                                                                ∂Vi            ∂V
        =    ∑
             i =1   ∂qi
                        q&i + r −
                              ∂t
                                                      ∑ ∂q
                                                         i =1     r
                                                                      q& i −
                                                                               ∂q r
                                                                                    =


                  ∂V       n
                                  ∂Vr                   ∂Vi            ∂V
        =−
                  ∂qr
                      +   ∑  ∂q
                          i =1               i
                                                  −
                                                         ∂qr
                                                                 q& i + r ,
                                                                         ∂t
                                                                                        r = 1,2,..., n .       (3.6.9)

       Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèÿ
                    ∂Vr ∂Vi
        γ ri =         −    ,                         r, i = 1,2,..., n .                                      (3.6.10)
                    ∂qi ∂qr
       Î÷åâèäíî, ÷òî
       γ ri = − γ ir .                                                                                         (3.6.11)
       Óðàâíåíèÿ (3.6.9) òåïåðü çàïèøóòñÿ òàê

                     ∂V              n
                                                                ∂Vr
        Qr = −
                     ∂q r
                          +      ∑γ
                                 i =1
                                                    &i
                                                 ri q     +
                                                                 ∂t
                                                                    ,          r = 1,2,..., n .                (3.6.12)


                                                                                                     ∂Vr
       Åñëè ôóíêöèÿ Vr íå çàâèñèò îò âðåìåíè, òî åñòü                                                    = 0 , óðàâíå-
                                                                                                      ∂t
íèÿ (3.6.12) ïðèìóò âèä

                     ∂V              n
        Qr = −
                     ∂qr
                         +       ∑γ
                                 i =1
                                                   & ,
                                                 ri qi             r = 1,2,..., n ,                            (3.6.13)

       n
ãäå   ∑γ
      i =1
             ri qi
                  & - òàê íàçûâàåìûå ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèëû.

       Íà îñíîâàíèè âûøåèçëîæåííîãî ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âû-
âîä: åñëè ôóíêöèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè Vr íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè,

                                                                                                            ∂V    
òî îáîáù¸ííûå ñèëû ñêëàäûâàþòñÿ èç ïîòåíöèàëüíûõ ñèë  −                                                           è ãè-
                                                                                                            ∂qr    

                                        n
                                                        
ðîñêîïè÷åñêèõ ñèë                  ∑γ               & .
                                                  ri qi 
                                  i =1                 

Страницы