Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 81 стр.

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà                                                     81
ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Ýéëåðà îá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ, ìîæíî íà-
ïèñàòü
       n
                ∂L
     ∑ q&
     r =1
            r
                ∂q& r
                      = 2T ,                                     (3.5.4)

òî ñ ó÷¸òîì L = T − V , (3.5.3) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
     T +V = h .                                                  (3.5.5)
     Åñëè â óðàâíåíèè (3.5.3) ïðèíÿòü
     L = T2 + T1 + T0 − V ,                              (3.5.6)
òî ñîãëàñíî òåîðåìå Ýéëåðà îá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ ïîëó÷èì
       n
                ∂L
     ∑ q&
     r =1
            r
                ∂q& r
                      = 2T2 + T1 .                               (3.5.7)

     Òåïåðü óðàâíåíèå (3.5.3) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
     T2 + V − T0 = h .                                       (3.5.8)
      Óðàâíåíèå (3.5.8) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÿâíóþ ôîðìó èíòåãðàëà ßêî-
áè (3.5.3).


      §3.6. Îáîáù¸ííûé ïîòåíöèàë

     Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ êàê ôóíê-
öèþ êîîðäèíàò è âðåìåíè, òî åñòü
     V = V (q1 , q2 ,..., qn ; t ) .                        (3.6.1)
     Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ çàâèñèò íå òîëüêî
îò îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò è âðåìåíè, íî è îò îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé
     V = V (q1 , q2 ,..., qn , q&1 , q& 2 ,..., q& n ; t ) .(3.6.2)
     Çäåñü ìû, êàê è â §3.2. ïîëàãàåì, ÷òî ÷èñëî îáîáù¸ííûõ êîîðäè-
íàò ìèíèìàëüíî, òî åñòü n = l .
     Ïîòðåáóåì, ÷òîáû óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (3.2.1)

     d  ∂T         ∂T
                   −   = Qr ,                r = 1,2,..., n   (3.2.1)
     dt  ∂q& r     ∂qr
èìåëè âèä