Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

80
Ãëàâà òðåòüÿ
§3.5. Èíòåãðàë ßêîáè
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, îïèñûâàåìàÿ ôóí-
êöèåé Ëàãðàíæà
L
, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:
1)
L
íå ñîäåðæèò ÿâíî âðåìÿ
t
;
2) ñêîðîñòü
q
&
r
â äåéñòâèòåëüíîì äâèæåíèè ÿâëÿåòñÿ âèðòóàëüíîé
ñêîðîñòüþ.
 ýòîì ñëó÷àå âìåñòî
r
q
δ
â óðàâíåíèè (3.4.3) ìîæíî íàïèñàòü
r
q
&
.
0
1
=
∂
∂
−
∂
∂
∑
=
n
r
r
rr
q
q
L
q
L
dt
d
&
&
. (3.5.1)
Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå
∑
∑
=
=
=
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
=
−
∂
∂
n
r
r
r
r
r
r
rr
r
n
r
r
r
q
q
L
q
q
L
q
q
L
q
L
dt
d
q
L
q
L
q
dt
d
1
1
&&&
&
&&
&&
&
&
&
∑
=
∂
∂
−
∂
∂
=
n
r
r
rr
q
q
L
q
L
dt
d
1
&
&
.
Óðàâíåíèå (3.5.1) ìû ìîæåì òåïåðü çàïèñàòü òàê
0
1
=
−
∂
∂
∑
=
L
q
L
q
dt
d
r
n
r
r
&
&
. (3.5.2)
Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ (3.5.2), ïîëó÷èì
∑
=
=−
∂
∂
n
r
r
r
hL
q
L
q
1
&
&
, (3.5.3)
ãäå
h
- ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ñîîòíîøåíèå (3.5.3) íàçûâàþò èíòåãðàëîì ßêîáè èëè èíòåãðàëîì
ýíåðãèè. Òàê êàê â ñëó÷àå íàòóðàëüíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, â
80                                                            Ãëàâà          òðåòüÿ
     §3.5. Èíòåãðàë ßêîáè

     Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, îïèñûâàåìàÿ ôóí-
êöèåé Ëàãðàíæà L , óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:
     1) L íå ñîäåðæèò ÿâíî âðåìÿ t ;
                  r
     2) ñêîðîñòü q& â äåéñòâèòåëüíîì äâèæåíèè ÿâëÿåòñÿ âèðòóàëüíîé
ñêîðîñòüþ.
      ýòîì ñëó÷àå âìåñòî δq r â óðàâíåíèè (3.4.3) ìîæíî íàïèñàòü q& r .
      n    d  ∂L  ∂L 
     ∑  dt  ∂q&
     r =1 
                     −
                  r 
                             q& r = 0 .
                         ∂qr 
                                                                            (3.5.1)

     Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå

     d  n         ∂L          
         ∑ q& r       − L  =
     dt  r =1 ∂q& r           
         n 
                  d  ∂L  ∂L               ∂L           ∂L 
     = ∑  q& r             +    q&&r −       q&&r −     q& r  =
       r =1      dt  ∂q& r  ∂q& r        ∂q& r        ∂q r 

            n   d  ∂L  ∂L 
     =    ∑  dt  ∂q&
          r =1 
                          −
                       r 
                                  q& r .
                              ∂qr 
     Óðàâíåíèå (3.5.1) ìû ìîæåì òåïåðü çàïèñàòü òàê

     d  n     ∂L       
         q& r  ∑
     dt  r =1 ∂q& r
                     − L = 0 .
                        
                                                                            (3.5.2)

     Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ (3.5.2), ïîëó÷èì
      n
                    ∂L
     ∑ q&
     r =1
                r
                    ∂q& r
                          −L=h,                                   (3.5.3)

ãäå h - ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ.
     Ñîîòíîøåíèå (3.5.3) íàçûâàþò èíòåãðàëîì ßêîáè èëè èíòåãðàëîì
ýíåðãèè. Òàê êàê â ñëó÷àå íàòóðàëüíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, â

Страницы