Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 78 стр.

78                                                          Ãëàâà       òðåòüÿ
     Íàì ÷àñòî áóäåò âñòðå÷àòüñÿ ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, äëÿ
êîòîðîé áóäóò âûïîëíÿòüñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
     1) ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó q r è x r íå ñîäåðæàò âðåìÿ t ,
     2) çàäàííûå ñèëû êîíñåðâàòèâíû,
     3) ñèñòåìà ãîëîíîìíà è îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû âûáðàíû òàê, ÷òî
n = l (÷èñëî îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò ìèíèìàëüíî).
      ýòîì ñëó÷àå
                        n    n

                       ∑∑ a
     ~        1
     T = T2 =                        & & ,
                                   ri q r qi                          (3.3.17)
              2        r =1 i =1

à êîýôôèöèåíòû a ri çàâèñÿò òîëüêî îò          q r . Ïîñëåäíåå òàê æå ñïðàâåä-
           ~
ëèâî è äëÿ V , à óðàâíåíèå (3.3.4) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ çíà÷å-
íèé δq1 , δq2 ,..., δqn . Ñèñòåìû, óäîâëåòâîðÿþùèå ïåðå÷èñëåííûì âûøå
ñâîéñòâàì, áóäåì íàçûâàòü íàòóðàëüíûìè ñèñòåìàìè ìàòåðèàëüíûõ
òî÷åê.


      §3.4. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà

     Áóäåì â äàëüíåéøåì êèíåòè÷åñêóþ è ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèè, âûðà-
æåííûå ÷åðåç q r è q& r (à òàêæå, âîçìîæíî, è t ), îáîçíà÷àòü ÷åðåç T è V .
    ×åòâ¸ðòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (3.3.4) çàïèøåòñÿ â âèäå
       n    d  ∂T  ∂T ∂V 
      ∑  dt  ∂q&
      r =1 
                      −
                   r 
                             +     δq r = 0 .
                          ∂qr ∂qr 
                                                                      (3.4.1)

     Ïóñòü
      L = T −V ,                                                      (3.4.2)
òîãäà ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî T íå çàâèñèò îò          q r , à V íå çàâèñèò îò q& r ,
óðàâíåíèå (3.4.1) çàïèøåòñÿ òàê:
       n    d  ∂L  ∂L 
      ∑  dt  ∂q&
      r =1 
                      −
                   r 
                               δqr = 0 .
                          ∂q r 
                                                                      (3.4.3)