Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

76
Ãëàâà òðåòüÿ
rrr
q
V
q
T
q
T
dt
d
∂
∂
−=
∂
∂
−
∂
∂
~~~
&
, (3.3.5)
∑
=
λ+
∂
∂
−=
∂
∂
−
∂
∂
k
m
mrm
rrr
B
q
V
q
T
q
T
dt
d
1
~~~
&
,
nr ,...,2,1=
. (3.3.6)
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ íà ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê êðîìå êîí-
ñåðâàòèâíûõ ñèë ìîãóò äåéñòâîâàòü è äðóãèå ñèëû
r
X
.  êà÷åñòâå òàêèõ
ñèë ìîãóò âûñòóïàòü, íàïðèìåð, íåêîíñåðâàòèâíûå ñèëû, çàâèñÿùèå îò
ïîëîæåíèÿ, èëè ñèëû, çàâèñÿùèå îò ñêîðîñòåé. Ïóñòü
∑
=
∂
∂
=
N
r
i
r
ri
q
x
XQ
1
, (3.3.7)
òàê ÷òî ðàáîòà äîáàâî÷íûõ ñèë íà âèðòóàëüíîì ïåðåìåùåíèè ðàâíà
∑
=
δ
n
i
ii
qQ
1
, òîãäà óðàâíåíèå (3.3.4) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
∑
=
=δ
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
n
r
rr
rrr
qQ
q
V
q
T
q
T
dt
d
1
0
~~~
&
, (3.3.8)
ñîäåðæàùèì â ñåáå óðàâíåíèÿ (3.2.1) è (3.3.4). (×åðòà íàä ñèìâîëàìè X
è Q íèêàêîãî îòíîøåíèÿ ê ñðåäíèì çíà÷åíèÿì íå èìååò, ïðîñòî òàêèì
çíà÷êîì ìû îòìåòèëè íåêîíñåðâàòèâíûå ñèëû, çàâèñÿùèå îò ïîëîæå-
íèÿ èëè ñêîðîñòåé).
Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà, ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ãîëîíîìíûõ è íåãîëî-
íîìíûõ ñèñòåì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê áóäóò âûãëÿäåòü òàê:
r
rrr
Q
q
V
q
T
q
T
dt
d
+
∂
∂
−=
∂
∂
−
∂
∂
~~~
&
,
nr ,...,2,1=
, (3.3.9)
∑
=
λ++
∂
∂
−=
∂
∂
−
∂
∂
k
m
mrmr
rrr
BQ
q
V
q
T
q
T
dt
d
1
~~~
&
,
nr ,...,2,1=
. (3.3.10)
76                                                                        Ãëàâà    òðåòüÿ
                  ~        ~      ~
           d  ∂T  ∂T          ∂V
                     −   =−     ,                                             (3.3.5)
           dt  ∂q& r  ∂q r    ∂qr
                   ~        ~        ~
           d  ∂T  ∂T             ∂V    k
                       −
           dt  ∂q& r  ∂q r
                               = −     + ∑ λ m Bmr , r = 1,2,..., n .
                                   ∂q r m =1
                                                                                  (3.3.6)

        íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ íà ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê êðîìå êîí-
ñåðâàòèâíûõ ñèë ìîãóò äåéñòâîâàòü è äðóãèå ñèëû X r .  êà÷åñòâå òàêèõ
ñèë ìîãóò âûñòóïàòü, íàïðèìåð, íåêîíñåðâàòèâíûå ñèëû, çàâèñÿùèå îò
ïîëîæåíèÿ, èëè ñèëû, çàâèñÿùèå îò ñêîðîñòåé. Ïóñòü
                     N
                                ∂x r
           Qi =      ∑X
                     r =1
                            r
                                ∂qi
                                     ,                                            (3.3.7)

òàê ÷òî ðàáîòà äîáàâî÷íûõ ñèë íà âèðòóàëüíîì ïåðåìåùåíèè ðàâíà
 n

∑Q δq
i =1
       i        i   , òîãäà óðàâíåíèå (3.3.4) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå


            n    d  ∂T~            ~
                                  ∂T ∂V
                                           ~        
           ∑                   −   +     − Q r  δq r = 0 ,                  (3.3.8)
           r =1  dt  ∂q& r      ∂q r ∂q r        

ñîäåðæàùèì â ñåáå óðàâíåíèÿ (3.2.1) è (3.3.4). (×åðòà íàä ñèìâîëàìè                     X
è Q íèêàêîãî îòíîøåíèÿ ê ñðåäíèì çíà÷åíèÿì íå èìååò, ïðîñòî òàêèì
çíà÷êîì ìû îòìåòèëè íåêîíñåðâàòèâíûå ñèëû, çàâèñÿùèå îò ïîëîæå-
íèÿ èëè ñêîðîñòåé).
     Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà, ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ãîëîíîìíûõ è íåãîëî-
íîìíûõ ñèñòåì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê áóäóò âûãëÿäåòü òàê:
                  ~        ~      ~
           d  ∂T  ∂T          ∂V
                     −   =−     + Qr ,             r = 1,2,..., n ,           (3.3.9)
           dt  ∂q& r  ∂qr     ∂qr
                  ~        ~      ~
           d  ∂T  ∂T          ∂V          k
                     −
           dt  ∂q& r  ∂qr
                             =−
                                ∂q r
                                                    ∑
                                     + Qr + λ m Bmr , r = 1,2,..., n .
                                           m =1
                                                                                  (3.3.10)

Страницы