Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 77 стр.

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà                                                                                     77

     Ïóñòü òåïåðü çàäàííûå ñèëû X r çàâèñÿò îò                                  x r è îò t , à ñîîòíîøå-
íèÿ, ñâÿçûâàþùèå                       q r è x r , ñîäåðæàò âðåìÿ t :
        x r = x r (q1 , q2 ,..., qn ; t ).              (3.3.11)
     Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ïðîèçâîëüíîãî âèðòóàëü-
íîãî ïåðåìåùåíèÿ δx áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî:
         N

        ∑ X δx
        r =1
               r            r   = −δ iV ,                                                        (3.3.12)


ãäå ñèìâîë         δ iV âûðàæàåò ïðîñòðàíñòâåííûé äèôôåðåíöèàë
                        N
                                 ∂V
         δiV =       ∑ ∂x
                     r =1          r
                                       δx r                                                      (3.3.13)

ïðè ôèêñèðîâàííîì t . (Ïðîñòûì ïðèìåðîì ñëóæèò äâèæåíèå çàðÿæåí-
íîé ÷àñòèöû â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, íàïðÿæåííîñòü êîòîðîãî
èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì.)  äàííîì ñëó÷àå ìû íå áóäåì èìåòü êëàññè÷åñ-
êîãî èíòåãðàëà ýíåðãèè, íî ñâîéñòâî, âûðàæàåìîå ñîîòíîøåíèåì (3.3.12),
áóäåò ïðèâîäèòü ê óïðîùåíèþ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.
     Ïóñòü
     V (x1 , x 2 ,..., x N ; t ) = V (q1 , q 2 ,..., q n ; t ) ,
                                   ~
                                                                                                 (3.3.14)
òîãäà

                                                    N ∂V ∂ x r                        ~
                    ∂V
                     N                         n                                n
                                                                                      ∂V
        δ iV =     ∑
               r =1 ∂x r
                         δx r =               ∑∑   
                                                   
                                              i =1  r =1 ∂     ∂
                                                                      δqi =
                                                                              ∑      ∂q i
                                                                                           δqi   (3.3.15)
                                                            x r   q i         i =1

è
         n

        ∑Q δq
                                      ~
               i        i       = −δ iV ,                                                        (3.3.16)
        i =1

                                 ~
                    n
                                ∂V
                   ∑
         ~
ãäå δ iV =                          δ q i âû÷èñëÿåòñÿ ïðè ôèêñèðîâàííîì t . ×åòâ¸ðòàÿ
                   i =1         ∂qi
ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (3.3.4) ïðè âûïîëíåíèè (3.3.11) – (3.3.16)
îñòà¸òñÿ ñïðàâåäëèâîé.