Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 79 стр.

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà                                                            79
     Èç óðàâíåíèÿ (3.4.3) ñëåäóåò äâà âàæíûõ âûâîäà:
     1. Åñëè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ãîëîíîìíà è n = l (÷èñëî
îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò ìèíèìàëüíî), òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ áóäóò
èìåòü âèä

     d  ∂L            ∂L
                      =   ,     r = 1,2,..., n .                     (3.4.5)
     dt  ∂q& r        ∂qr
     2. Åñëè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íåãîëîíîìíà è n = l + k , ( k -
÷èñëî íàëîæåííûõ íà ñèñòåìó ñâÿçåé), òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ áóäóò
èìåòü âèä

     d  ∂L            ∂L     k
                      =   + ∑ λ m Bmr , r = 1,2,..., n .             (3.4.6)
     dt  ∂q& r        ∂q r m =1
     Ê óðàâíåíèÿì (3.4.6) ñëåäóåò äîáàâèòü k óðàâíåíèé ñâÿçè
       n

     ∑B
      i =1
                 &i
              ri q    + Br = 0 , r = 1,2,..., k .                       (3.2.7)



     Ôóíêöèþ Ëàãðàíæà L íàçûâàþò êèíåòè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì ñèñ-
òåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
     Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (3.4.5) èíâàðèàíòíî ïî îòíîøåíèþ ê ëþ-
áîìó ïðåîáðàçîâàíèþ êîîðäèíàòû q : äðóãèìè ñëîâàìè, ýòî çíà÷èò, ÷òî,

ïîëàãàÿ      q = f (ϕ ), ìû ñíîâà ïîëó÷èì óðàâíåíèå òèïà (3.4.5), òî åñòü
     d  ∂L  ∂L
         −       =0.                                        (3.4.7)
     dt  ∂ϕ&  ∂ϕ
     Ýòà èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé Ëàãðàíæà ïðåäñòàâëÿåò áîëüøîå
ïðåèìóùåñòâî, òàê êàê îíà äà¸ò âîçìîæíîñòü äëÿ ëþáûõ êîîðäèíàò ñðàçó
íàïèñàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, òî åñòü,
êèíåòè÷åñêèé ïîòåíöèàë ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò âñå âîçìîæíûå äâèæå-
íèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ïðèìåðîì èçëîæåíèÿ ìåõàíèêè ñ òî÷-
êè çðåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ìîæåò ñëóæèòü ïåðâûé òîì øèðî-
êî èçâåñòíîãî êóðñà ïî òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå, íàïèñàííîãî Ë.Ä. Ëàí-
äàó è Å.Ì. Ëèôøèöåì - «Ìåõàíèêà».