Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 75 стр.

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà                                                                               75
          §3.3. Êîíñåðâàòèâíûå è îáëàäàþùèå ïîòåíöèàëüíîé
                ôóíêöèåé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê

        Ïóñòü çàäàííûå ñèëû X r çàâèñÿò òîëüêî îò                             x r è íå çàâèñÿò íè îò
x& r , íè îò t è äëÿ ëþáîãî âèðòóàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ δx r ôîðìà Ïôàô-
      N
ôà    ∑ X δx
      r =1
                 r       r   ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì − δV , ãäå V - îäíî-


ðîäíàÿ ôóíêöèÿ îò ïåðåìåííûõ x1 , x 2 ,..., x N , ïðèíàäëåæàùàÿ êëàññó C1
(ñì. §2.5.). Áóäåì îïðåäåë¸ííûå òàêèì îáðàçîì çàäàííûå ñèëû íàçûâàòü
êîíñåðâàòèâíûìè, à ôóíêöèþ V - ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé. Ïóñòü òàê æå
ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó                      q r è x r íå ñîäåðæàò âðåìÿ t .
                                                  N
        Âûðàçèì ôîðìó Ïôàôôà                     ∑ X δx
                                                 r =1
                                                        r   r       ÷åðåç îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû


             N                     n
                                         N    ∂x              n

          ∑
          r =1
                 X r δx r =       ∑∑     X r r δqi =
                                        
                                   i =1  r =1 ∂qi 
                                                            ∑Q δq
                                                            i =1
                                                                      i   i                (3.3.1)

è
             n
                                     ~
          ∑ Q δq
          i =1
                     i       i   = −δV ,                                                   (3.3.2)

ãäå
        V (x1 , x 2 ,..., x N ) = V (q1 , q2 ,..., qn ).
                                  ~
                                                               (3.3.3)
        ×åòâ¸ðòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (3.1.14) ïðèìåò âèä:
             n  d  ∂T~               ~
                                    ∂T ∂V 
                                             ~
          ∑                      −   +      δq r = 0 .                               (3.3.4)
          r =1  dt  ∂q& r         ∂q r ∂qr 
     Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (3.2.1) è (3.2.6), ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ãîëîíîì-
íûõ è íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, áóäóò âûãëÿäåòü òàê: