Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

82
Ãëàâà òðåòüÿ
0=
∂
∂
−
∂
∂
rr
q
L
q
L
dt
d
&
,
nr ,...,2,1=
, (3.6.3)
ãäå
VTL −=
. (3.6.4)
Óðàâíåíèÿ (3.6.3) áóäóò âûïîëíÿòüñÿ, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïî-
òåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì
r
rr
Q
q
V
q
V
dt
d
=
∂
∂
−
∂
∂
&
,
nr ,...,2,1=
, (3.6.5)
Ôóíêöèÿ (3.6.2), ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ìîæíî ïîëó÷èòü îáîáù¸í-
íûå ñèëû ïî ôîðìóëå (3.6.5), íàçûâàåòñÿ îáîáù¸ííûì ïîòåíöèàëîì.
Ðàññìîòðèì, êàê çàâèñèò ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ îò îáîáù¸ííûõ
ñêîðîñòåé. Íà îñíîâàíèè (3.6.5) ìû ìîæåì íàïèñàòü, ðàñêðûâ ïîëíóþ
ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè:
∑∑
==
∂
∂
−
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
=
n
i
n
i
rr
i
ir
i
ir
r
q
V
tq
V
q
qq
V
q
qq
V
Q
11
222
&
&
&
&&
&&
, (3.6.6)
nr ,...,2,1=
.
Òàê êàê îáîáù¸ííûå ñèëû îò îáîáù¸ííûõ óñêîðåíèé íå çàâèñÿò, òî
∑
=
=
∂∂
∂
n
i
i
ir
q
qq
V
1
2
0
&&
&&
,
nr ,...,2,1=
, (3.6.7)
òî åñòü îáîáù¸ííûé ïîòåíöèàë
V
ìîæåò áûòü òîëüêî ëèíåéíîé ôóíê-
öèåé îò îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé:
() ()
∑
=
+=
n
i
irir
qtqVtqVV
1
,,
&
,
nr ,...,2,1=
. (3.6.8)
Îïðåäåëèì âèä îáîáù¸ííûõ ñèë ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (3.6.5) è
(3.6.8):
=
+
∂
∂
−=
∑
=
VqV
qdt
dV
Q
n
i
ii
r
r
r
1
&
82                                                                                   Ãëàâà    òðåòüÿ

      d  ∂L            ∂L
                       −   =0,                       r = 1,2,..., n ,                     (3.6.3)
      dt  ∂q& r        ∂qr
ãäå
      L = T −V .                                           (3.6.4)
     Óðàâíåíèÿ (3.6.3) áóäóò âûïîëíÿòüñÿ, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïî-
òåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì

      d  ∂V            ∂V
                       −   = Qr ,                    r = 1,2,..., n ,                     (3.6.5)
      dt  ∂q& r        ∂qr
     Ôóíêöèÿ (3.6.2), ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ìîæíî ïîëó÷èòü îáîáù¸í-
íûå ñèëû ïî ôîðìóëå (3.6.5), íàçûâàåòñÿ îáîáù¸ííûì ïîòåíöèàëîì.
     Ðàññìîòðèì, êàê çàâèñèò ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ îò îáîáù¸ííûõ
ñêîðîñòåé. Íà îñíîâàíèè (3.6.5) ìû ìîæåì íàïèñàòü, ðàñêðûâ ïîëíóþ
ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè:
                 n
                        ∂ 2V                n
                                                   ∂ 2V             ∂ 2V     ∂V
      Qr =      ∑
                i =1   ∂q& r ∂q&i
                                  q&&i +   ∑
                                           i =1   ∂q& r ∂qi
                                                            q& i +         −
                                                                   ∂q& r ∂t ∂q r
                                                                                 ,           (3.6.6)

                        r = 1,2,..., n .
      Òàê êàê îáîáù¸ííûå ñèëû îò îáîáù¸ííûõ óñêîðåíèé íå çàâèñÿò, òî
       n
              ∂ 2V
      ∑
      i =1   ∂q& r ∂q&i
                        q&&i = 0 ,         r = 1,2,..., n ,                                  (3.6.7)

òî åñòü îáîáù¸ííûé ïîòåíöèàë V ìîæåò áûòü òîëüêî ëèíåéíîé ôóíê-
öèåé îò îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé:
                                n
      V = V (q r , t ) +      ∑V (q , t )q& ,
                               i =1
                                      i    r        i           r = 1,2,..., n .             (3.6.8)

      Îïðåäåëèì âèä îáîáù¸ííûõ ñèë ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (3.6.5) è
(3.6.8):

                      ∂  n           
                                      ∑
                dVr
      Qr =          −    Vi q& i + V  =
                 dt ∂qr  i =1        

Страницы