Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 85 стр.

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà                                                85

             1 &2
       T=      I Oθ ,                                       (3.7.2)
             2
ãäå
       I O = ml 2                                           (3.7.3)
è îêîí÷àòåëüíî
             1 2 &2
       T=      ml θ .                                       (3.7.4)
             2
       Òîãäà
       ∂T               ∂T
           = ml 2θ& , à    = 0.                             (3.7.5)
       ∂θ&              ∂θ
       2) Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ îáîáù¸ííîé ñèëû
               ∂x
       Q=X        = − mgl sin θ .                           (3.7.6)
               ∂θ
       Ñîñòàâèì óðàâíåíèå Ëàãðàíæà (3.2.1)
       d  ∂T 
                = Q èëè ml θ&& = −mgl sin θ .
                            2

       dt  ∂θ& 
       Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
            g
       θ&& + sin θ = 0                                      (3.7.7)
            l
õîðîøî èçâåñòíîå óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Ýòî óðàâíåíèå
ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíûì, è åãî ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåò áîëüøèå òðóäíîñòè.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êîîðäèíàòà    θ òî÷êè Ì â ïðîöåññå äâèæåíèÿ ìàëî
îòêëîíÿåòñÿ îò íóëÿ. Òîãäà sin θ ≈ θ è óðàâíåíèå (3.7.7) ìîæíî çàìå-
íèòü íà «ïðèáëèæåííîå» ëèíåéíîå óðàâíåíèå
       θ&& + ω 2θ = 0 ,                                     (3.7.8)
             g
ãäå   ω2 =     .
             l
       Ðåøàÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå