Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 90 стр.

90                                                               Ãëàâà    òðåòüÿ
     Çàäà÷à 22.

     Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îòíîñèòåëü-
íî Çåìëè, ïðîèñõîäÿùåãî ïîä äåéñòâèåì ñèëû ïðèòÿæåíèÿ Íüþòîíà.

     Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.

Íàéòè            f (q, q& , t )                Ðåøåíèå çàäà÷è.

                              mM   Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ Çåìë¸é, ïîìåñòèâ
Äàíî            F = −G
                              íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò â öåíòð Çåì-
                               r2
                              ëè òàê, ÷òî îñü âðàùåíèÿ Çåìëè áóäåò ñî-
âïàäàòü ñ îñüþ OZ, à ñàìà ñèñòåìà êî-
îðäèíàò íå áóäåò ó÷àñòâîâàòü âî âðà-                z
ùàòåëüíîì äâèæåíèè Çåìëè. Äâèæå-                              M
íèå ïî îòíîøåíèþ ê âûáðàííîé íàìè
â äàííîé çàäà÷å ñèñòåìå êîîðäèíàò áó-                   r
äåì ñ÷èòàòü àáñîëþòíûì. Ñäåëàåì
÷åðò¸æ.                                             O     β
     Ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè                       α          y
ïðè äâèæåíèè îòíîñèòåëüíî âûáðàí-
íîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ìîæíî õàðàê-
òåðèçîâàòü ñ ïîìîùüþ òð¸õ îáîáù¸í-
íûõ êîîðäèíàò: ðàäèóñ-âåêòîðà r ,           x
                                                          Ðèñ. 14.
äîëãîòû - α , è ãåîöåíòðè÷åñêîé øè-
ðîòû - β , òî åñòü
       q1 = r , q2 = α ,            q3 = β .                             (3.7.30)
       Äåêàðòîâû êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì áóäóò
     x = r cos β cos α , y = r cos β sin α , z = r sin β .               (3.7.31)
     Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè

       T=
            1
            2
                (                 )
              m x& 2 + y& 2 + z& 2 ,                                     (3.7.32)

ãäå m - ìàññà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
      Åñëè òåïåðü â óðàâíåíèè (3.7.32) ïåðåéòè îò äåêàðòîâûõ êîîðäè-
íàò ê ñôåðè÷åñêèì, â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.7.31), (ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü
(3.7.31) ïî âðåìåíè, âîçâåñòè â êâàäðàò è ñëîæèòü) ïîëó÷èì