Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 92 стр.

92                                                       Ãëàâà     òðåòüÿ

     ∂L                    ∂L
         = mr 2 cos2 βα& ,    =0,
     ∂α&                   ∂α
     ∂L            ∂L
      & = mr 2β& ,    = −mr 2 sin β cos βα& 2 .
     ∂β            ∂β
     Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ (3.4.5), à èìåííî

      d  ∂L  ∂L
                 −    = 0 , i = 1,2,3.                          (3.4.5)
      dt  ∂q&i  ∂qi

           (                )     µ     2
     &r& − r β& 2 + cos2 βα& 2 = − 2 ,                            (3.7.39)
                                  r
     mr 2 cos 2 βα& = c1 , c1 = const ,                           (3.7.40)


      dt
         ( )
      d 2& 1 2
         r β + r sin 2βα& 2 = 0 .
              2
                                                                  (3.7.41)

     Äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì ïðîèñõîäèò ïîä äåéñòâèåì öåí-
òðàëüíîé ñèëû, ñëåäîâàòåëüíî (ñì. §2.3.), ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé. Ñîñòàâèì âûðà-
æåíèå äëÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ íà îñè x, y , z :

                                (                         )
M x = m( yz& − zy& ) = mr 2 β& sin α − α& cos α sin β cos β , 
                                                              
                                    (                         )
M y = m(zx& − xz& ) = − mr 2 β& cos α + α& sin α sin β cos β ,   (3.7.42)
                                                              
M z = m(xy& − yx& ) = mr 2 cos 2 β α& .                       
     Îòñþäà âèäíî, ÷òî óðàâíåíèå (3.7.40) âûðàæàåò ïîñòîÿíñòâî ìî-
ìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî îñè OZ.
     Ìîäóëü ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè áóäåò
ðàâåí

     M = M x2 + M y2 + M z2 = mr 2 β& 2 + cos2 βα& 2 = c2 ,       (3.7.43)

ãäå c2 = const .
     Èçâåñòíî, ÷òî äâèæåíèå ïîä äåéñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëû ïðîèñ-
õîäèò â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê âåêòîðó ìîìåíòà êîëè÷åñòâà