Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 91 стр.

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà                                                             91


       T=
            1
            2
                (                             )
              m r& 2 + r 2β& 2 + r 2 cos2 βα& 2 .                        (3.7.33)

     Ñîñòàâèì òåïåðü âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ìàòåðè-
àëüíîé òî÷êè Ì. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìàññû
m íà ðàññòîÿíèè r îò Çåìëè, îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
                    mM
       V = −G          ,                                                 (3.7.34)
                     r
ãäå   M - ìàññà Çåìëè.
    Åñëè ðàäèóñ Çåìëè ïðèíÿòü çà R , òî íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè ïîòåí-
öèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè áóäåò
                    mM
       VÇ = −G         ,                                                 (3.7.35)
                     R
à äëÿ ñèëû ïðèòÿæåíèÿ ìîæíî íàïèñàòü
                    mM
       FÒ = −G         = −mg .                                           (3.7.36)
                    R2
     Èç (3.7.36) ñëåäóåò, ÷òî − GmM =               − mgR 2 . Ïîäñòàâëÿÿ ýòî çíà-
÷åíèå â (3.7.34), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì

              mgR 2    mµ 2
       V =−         =−      ,                                            (3.7.37)
               r        r
ãäå µ = gR .
     2    2


       Òåïåðü ìû ìîæåì ñîñòàâèòü ôóíêöèþ Ëàãðàíæà L = T − V .

       L=
           1
           2
                (                             )
             m r&2 + r 2β& 2 + r 2 cos2 βα& 2 +
                                                mµ 2
                                                 r
                                                     .                   (3.7.38)

       Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíûå îò L :

       ∂L          ∂L                           mµ 2
           = mr& ,    = mrβ& 2 + mr cos2 βα& 2 − 2 ,
       ∂r&         ∂r                            r