Математическое программирование (линейное программирование). Киселева Э.В - 52 стр.

Так как этот интервал достаточно узок, можно считать, что до-
пустимые планы близки к оптимальным. Практическая ценность
полученного результата очевидна, так как он может быть исполь-
зован для проверки «качества» выбранных допустимых планов.
    С помощью геометрической интерпретации пары двойствен-
ных задач проиллюстрируем первую теорему двойственности.
Вернемся к примеру 7.5. Как видно из рис. 7.3, прямая задача
имеет оптимальное решение, которое достигается в точке А. Сле-
довательно, Х*=(5,0)Т является оптимальным планом прямой за-
дачи, при котором Zmax=15. По первой теореме двойственности
тогда и двойственная задача разрешима, а экстремальные значе-
ния целевых функций должны быть одинаковы. Действительно,
минимальное значение функция цели двойственной задачи при-
нимает в точке В (рис. 7.4). Значит, Y*=(3,0) и Wmin=15.



                                                                       Рис. 7.4. Оптимальное решение двойственной задачи
                                                                                        достигается в точке В

                                                                     Кроме того, из рис. 7.3 и 7.4 легко увидеть, что значение це-
                                                                 левой функции Z прямой задачи при любом допустимом плане не
                                                                 больше 15, а значение функции цели W двойственной задачи при
                                                                 произвольном ее допустимом плане не меньше 15.
                                                                     Пример 7.6. Рассмотрим пример, являющийся иллюстрацией
                                                                 того факта, что если прямая задача не имеет оптимального плана
                                                                 вследствие неограниченности целевой функции, то совокупность
                                                                 ограничений двойственной задачи противоречива.
                                                                           Прямая задача         Двойственная задача
                                                                         Z = 2 x1 + x2 → max ,    W = y1 + 2 y2 → min,
                                                                             ⎧− x1 + x2 ≤ 1,          − y1 + y2 ≥ 2 ,
                                                                             ⎨
                                                                             ⎩ x1 − 2 x2 ≤ 2 ,         y1 − 2 y2 ≥ 1,
           Рис. 7.3. Оптимальное решение прямой задачи                      x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0.         y1 ≥ 0, y2 ≥ 0.
                        достигается в точке А
                              105                                                                     106