Математика (Статистика, корреляция и регрессия). Кислов К.К. - 22 стр.

                                                                           22
                                                          −
                                                          r n− 2                − 0,511 48
                                                  Tв =                 =                           = − 4,12 .
                                                                 − 2            1 − ( − 0,511) 2
                                                              1− r



       По табл. 2 Приложения находится критическая точка t кр при уровне

значимости α = 0,05 и числе степеней свободы n − 2 =48 , равная t кр = 0,21 . Так

как Tв = 4,12 > t кр = 2,01 , то гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции r
генеральной совокупности отвергается и случайные величины                                                        X и Y
коррелированны и, следовательно, связаны линейной зависимостью. Прямая
регрессии Y на X выражается уравнением


   ^   −   Sy       −       −   Sy    −                  4,319                       4,319
   y= r         x + y− r              x = − 0,511 ⋅            ⋅ x − 0,511 + 0,511 ⋅       ⋅ 26,42 = − 0,482 ⋅ x + 12,24 .
           Sx                   Sx                       4,574                       4,574



       Выборочное уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид:
                                            ^     −   Sx     −   − S  −
                                            x= r         y + x − r x y = − 0,541 y + 26,15 .
                                                      Sy           Sy
                                                                                                                             ^
       Прямая линия регрессии Y на X свидетельствует о тенденции увеличения y

с уменьшением значений признака X.
       Проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности
системы случайных величин (X,Y).
       1. Определяем угол поворота α                                       осей 0x и 0y из уравнения:
                  2r ⋅ S x ⋅ S y                2 ⋅ 0,511 ⋅ 4,574 ⋅ 4,319
       tg 2α =                            = −                             = − 8,88 .
                    S − S
                        2
                        x
                                 2
                                 y                  20,924 − 18,657

       Так как r < 0, S x > S y , получим (таблица 2):
                                          1
                                 α =        ⋅ ( − arctg 8,88) = − 41,75  ;
                                          2
                                     sin α = sin( − 41,75  ) = − 0,666; cos α = cos( − 41,75  ) = 0,746

       Система уравнений преобразования координат имеет вид: