Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

F
def
= {A
¯
¯
∃B ∈ B : A ⊃ B}
F B
A B
F A
1
B
1
B A
1
⊂ A
B
1
⊂ B A
1
∩B
1
C ∈ B
A ∩ B F
F
1
F
2
B
F
1
= F
2
f : X → Y B
X f(B) Y
A B
f(B) = {f(A) : A ∈ B}.
f(B) Y
f B
f(B)
f(A) ∈ f(B) f(B) ∈ f(B) f(A)∩f(B) ⊃ f(A∩B ) ∈ f (B)
F f(F)
F
f(F)
B
B
Ëåêöèÿ 17                                                                    109


à), á). Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëîæèì1
                            def ¯
                          F = {A¯∃B ∈ B : A ⊃ B}

   Ïîêàæåì, ÷òî F  ôèëüòð, áàçèñîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ B. Âûïîëíåíèå
ñâîéñòâ à), á) ôèëüòðà î÷åâèäíî. Ïðîâåðèì ñ). Ïóñòü A è B  ïðîèçâîëü-
íûå ýëåìåíòû èç F. Òîãäà íàéäóòñÿ A1 è B1 èç B òàêèå, ÷òî A1 ⊂ A è
B1 ⊂ B . Èõ ïåðåñå÷åíèå A1 ∩ B1 ñîäåðæèò ìíîæåñòâî C ∈ B, êîòîðîå, î÷å-
âèäíî, ñîäåðæèòñÿ è â A ∩ B , çíà÷èò, ïðèíàäëåæèò F. ×òî è òðåáîâàëîñü
äîêàçàòü.
   Çàìå÷àíèÿ. 1. Ôèëüòð âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî áàçèñó îäíîçíà÷íî. Áîëåå
òî÷íî ýòî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â âèäå ñëåäóþùåãî ïðåäëîæåíèÿ (äîêà-
çàòü ñàìîñòîÿòåëüíî):
   åñëè ôèëüòðû F1 è F2 èìåþò îäèí è òîò æå áàçèñ B, òî îíè ñîâïà-
äàþò, ò.å. F1 = F2 .
   2.  Ìîñêîâñêîì óíèâåðñèòåòå áîëüøèíñòâî ëåêòîðîâ â êà÷åñòâå îñíîâ-
íîãî ïîíÿòèÿ îáû÷íî áåðóò ïîíÿòèå áàçû (ò.å. áàçèñà ôèëüòðà), à íå
ôèëüòðà, ïî-âèäèìîìó, ñ÷èòàÿ, ÷òî îíî áîëåå äîñòóïíî èíòóèöèè. Ìî-
æåò áûòü ýòî òàê è åñòü, íî íà ñàìîì äåëå, êàê ìû óâèäèì, âñå çàâèñèò íå
îò áàçèñà, à îò ôèëüòðà. Íàïðèìåð, âî ââîäèìîì íèæå ïîíÿòèè ïðåäåëà è
äðóãèõ.
   Òåîðåìà. Ïóñòü f : X → Y  ôóíêöèÿ è B  áàçèñ ôèëüòðà â ìíî-
æåñòâå X . Îáîçíà÷èì ÷åðåç f (B) êëàññ ïîäìíîæåñòâ èç Y , ñîñòîÿùèé
èç îáðàçîâ ýëåìåíòîâ A èç B:

                           f (B) = {f (A) : A ∈ B}.

Òîãäà f (B)  áàçèñ ôèëüòðà â Y . Îí íàçûâàåòñÿ îáðàçîì ïðè îòîáðàæåíèè
f áàçèñà ôèëüòðà B.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñâîéñòâî à) èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû, î÷åâèäíî,
âûïîëíåíî äëÿ f (B).
   Ïóñòü f (A) ∈ f (B) è f (B) ∈ f (B). Òîãäà f (A)∩f (B) ⊃ f (A∩B) ∈ f (B).
   ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Çàìå÷àíèå. Åñëè F  ôèëüòð, òî åãî îáðàç f (F), âîîáùå ãîâîðÿ, íå
îáÿçàí áûòü ôèëüòðîì, íî ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå áóäåò áàçèñîì íåêîòî-
ðîãî ôèëüòðà. Ýòîò ôèëüòð íàçûâàåòñÿ îáðàçîì ôèëüòðà F è îáîçíà÷àåòñÿ
òîæå f (F), ÷òî íå ñîâñåì êîððåêòíî, íî êàê ïðàâèëî, íå ïðèâîäèò ê íåäî-
ðàçóìåíèÿì.
  1 Ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ íàäêëàññîì êëàññà B  ýòî âñå ïîäìíîæåñòâà, ñîäåðæà-
ùèå êàêîé-íèáóäü ýëåìåíò B

Страницы