Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

B
1
B
2
B
1
< B
2
A ∈ B
2
B ∈ B
1
B ⊂ A
B
1
F
1
B
2
F
2
B
1
< B
2
F
1
⊃ F
2
f : X → R B F X
A f F
B
lim
F,x
f(x) = A, lim
B,x
f(x) = A
f(B) B f
A ∈ R
(x
n
)
n∈N
a = lim
n→∞
x
n
x
a
(n → ∞) N
[N, ∞) x
{x
N
, x
N+1
, . . .}
{U
ε
(a) : ε > 0} a
U
ε
(a)
[N, ∞) {x
N
, x
N+1
, . . .} U
ε
(a)
∀ε > 0 ∃N ∀n > N ⇒ x
n
∈ U
ε
(a).
f : (a; b) → R x
0
∈ (a; b)
x → x
0
x
0
lim
x→x
0
f(x) = A
f
A
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x : x ∈
◦
U
δ
(x
0
) ⇒ f(x) ∈ U
ε
(A).
110                                                           Êëåâ÷èõèí Þ.À


   Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî áàçèñ ôèëüòðà B1 ìàæîðèðóåò áàçèñ ôèëü-
òðà B2 è ïèøóò B1 < B2 , êîãäà äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ∈ B2 ñóùåñòâóåò
òàêîå B ∈ B1 , ÷òî B ⊂ A.
   Çàäà÷à. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè B1  áàçèñ ôèëüòðà F1 è B2  áàçèñ
ôèëüòðà F2 , òî B1 < B2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F1 ⊃ F2 .
   Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü f : X → R ôóíêöèÿ è B  áàçèñ ôèëüòðà F â X .
Ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî A åñòü ïðåäåë ôóíêöèè f ïî ôèëüòðó F (èëè ïî áàçèñó
ôèëüòðà B) è ïèøóò

                    lim f (x) = A,     èëè    lim f (x) = A
                    F,x                       B,x

êîãäà îáðàç f (B) áàçèñà ôèëüòðà B ïðè îòîáðàæåíèè f ìàæîðèðóåò ôèëüòð
îêðåñòíîñòåé òî÷êè A ∈ R.
   Ïðèìåð. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Åñëè (xn )n∈N  ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü, òî ïî îïðåäåëåíèþ a = lim xn , êîãäà îáðàç ïðè îòîáðàæåíèè x
                                     n→∞
(áàçèñà) ôèëüòðà Ôðåøå ìàæîðèðóåò ôèëüòð îêðåñòíîñòåé òî÷êè a.
   Ðàçáåðåìñÿ â òîì, ÷òî ýòî îçíà÷àåò. Êàê ìû âèäåëè, áàçèñîì ôèëü-
òðà Ôðåøå (n → ∞) â ìíîæåñòâå N ÿâëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòü âñåõ îòðåç-
êîâ [N, ∞). Îáðàçîì ïðè x êàæäîãî òàêîãî îòðåçêà ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî
{xN , xN +1 , . . .}. Ïîýòîìó îáðàç ýòîãî áàçèñà ôèëüòðà Ôðåøå áóäåò ìàæî-
ðèðîâàòü áàçèñ {Uε (a) : ε > 0} ôèëüòðà îêðåñòíîñòåé òî÷êè a òîãäà è
òîëüêî òîãäà (ïî îïðåäåëåíèþ), êîãäà äëÿ ëþáîé îêðåñòíîñòè Uε (a) ñóùå-
ñòâóåò îòðåçîê [N, ∞), îáðàç êîòîðîãî {xN , xN +1 , . . .} ñîäåðæèòñÿ â Uε (a).
Î÷åâèäíî, òî æå ñàìîå ìîæíî áîëåå ïîäðîáíî âûðàçèòü òàê:

                      ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ⇒ xn ∈ Uε (a).

×òî â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ îáû÷íûì îïðåäåëåíèåì ïðåäåëà.
   Ïðåäåë ôóíêöèè. Ïóñòü f : (a; b) → R  ôóíêöèÿ, x0 ∈ (a; b). Íà-
ïîìíèì, ÷òî x → x0  ýòî ôèëüòð ïðîêîëîòûõ îêðåñòíîñòåé òî÷êè x0 .
Ïîýòîìó ïî îïðåäåëåíèþ lim f (x) = A òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îá-
                            x→x0
ðàç ïðè f (áàçèñà) ôèëüòðà ïðîêîëîòûõ îêðåñòíîñòåé ìàæîðèðóåò (áàçèñ)
ôèëüòðà îêðåñòíîñòåé òî÷êè A. Åñëè ðàçîáðàòüñÿ ïîäðîáíî, òî ýòî â òî÷-
íîñòè ñîâïàäàåò ñî ñòàíäàðòíûì îïðåäåëåíèåì ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Êîøè:
                                       ◦
               ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x : x ∈ U δ (x0 ) ⇒ f (x) ∈ Uε (A).

Страницы