Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

A B U(x
0
)
x
0
A ∩ B
A ∩ B ∈ U(x
0
)
U(x
0
)
x
0
X X = N
F X
∅ X
∅ F
F X
B
A ⊃ B ⇔ A
c
⊂ B
c
A
B
F
(A ∩B)
c
= A
c
∪B
c
A
c
B
c
X = N n → ∞
X = R F(x
0
) A
F(x
0
) δ > 0 A
δ x
0
A ∈ F(x
0
)
def
⇔ ∃δ > 0 : U
δ
(x
0
) ⊂ A
F(x
0
)
x
0
X = R F A
F δ > 0 A
δ x
0
A ∈ F
def
⇔ ∃δ > 0 :
◦
U
δ
(x
0
) ⊂ A
x
0
x → x
0
Ëåêöèÿ 17                                                            107


   â) Åñëè äâà ìíîæåñòâà A è B ïðèíàäëåæàò U(x0 ), òî îíè ñîäåðæàò
òî÷êó x0 , ïîýòîìó ýòà òî÷êà ïðèíàäëåæèò èõ ïåðåñå÷åíèþ A ∩ B , çíà÷èò
A ∩ B ∈ U(x0 ).
   ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî U(x0 )  ôèëüòð. Îí íàçûâàåòñÿ òðèâèàëüíûì
óëüòðàôèëüòðîì â òî÷êå x0 .
   3. Ïóñòü X ïðîèçâîëüíîå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî (íàïðèìåð, X = N)
Îáîçíà÷èì ÷åðåç F êëàññ òàêèõ ïîäìíîæåñòâ èç X , äîïîëíåíèÿ ê êîòîðûì
ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íûìè ìíîæåñòâàìè. Ïîêàæåì, ÷òî ýòî ôèëüòð (îí íàçûâà-
åòñÿ ôèëüòðîì Ôðåøå).
   à) Äîïîëíåíèåì ê ïóñòîìó ìíîæåñòâó ∅ ÿâëÿåòñÿ âñå ìíîæåñòâî X , à
îíî ïî ïðåäïîëîæåíèþ áåñêîíå÷íî, ïîýòîìó ∅ íå ïðèíàäëåæèò F è ñàì
êëàññ F íåïóñò, òàê êàê ñîäåðæèò ìíîæåñòâî X , äîïîëíåíèå ê êîòîðîìó íå
ñîäåðæèò ýëåìåíòîâ âîâñå.
   á) Åñëè äîïîëíåíèå ê ìíîæåñòâó B ñîäåðæèò êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåí-
òîâ, òî â ñèëó òîãî, ÷òî A ⊃ B ⇔ Ac ⊂ B c äîïîëíåíèå ê ìíîæåñòâó A,
ñîäåðæàùåìó B , ñîäåðæèò åùå ìåíüøå ýëåìåíòîâ, çíà÷èò, ïðèíàäëåæèò
F.
   â) Ïîñëåäíåå ñâîéñòâî âûïîëíåíî â ñèëó ðàâåíñòâà (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .
(Ìíîæåñòâà Ac è B c êîíå÷íû, çíà÷èò, êîíå÷íî è èõ îáúåäèíåíèå).
    ñëó÷àå, êîãäà X = N, ôèëüòð Ôðåøå îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì n → ∞.
   4. Ïóñòü X = R. Îïðåäåëèì êëàññ F(x0 ), ïîëàãàÿ ìíîæåñòâî A ïðèíàä-
ëåæàùèì F(x0 ), òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî A
ñîäåðæèò δ -îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 :
                              def
                    A ∈ F(x0 ) ⇔ ∃δ > 0 : Uδ (x0 ) ⊂ A

   Ïðîâåðêà òîãî, ÷òî F(x0 )  ôèëüòð, îñòàåòñÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðà-
áîòû. Ýòîò ôèëüòð íàçûâàåòñÿ ôèëüòðîì îêðåñòíîñòåé òî÷êè x0 .
   5. Ïóñòü X = R. Îïðåäåëèì êëàññ F, ïîëàãàÿ ìíîæåñòâî A ïðèíàäëåæà-
ùèì F òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî A ñîäåðæèò
ïðîêîëîòóþ δ -îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 :

                            def         ◦
                      A ∈ F ⇔ ∃δ > 0 : U δ (x0 ) ⊂ A

Ýòîò ôèëüòð íàçûâàåòñÿ ôèëüòðîì ïðîêîëîòûõ îêðåñòíîñòåé òî÷êè x0
è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì x → x0 . (Äîêàçàòåëüñòâà ïðîäåëàòü ñàìîñòî-
ÿòåëüíî.)
   Ñëåäóþùåå ïîíÿòèå âàæíî òåì, ÷òî ïîçâîëÿåò ëåã÷å îïèñûâàòü (à, çíà-
÷èò, è óïîòðåáëÿòü) ðàçëè÷íûå ôèëüòðû.

Страницы