Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

f(x) = sin x
R
f
E f ∈ (E)
∃C ∀x
0
, x
00
∈ E ⇒ |f(x
0
) − f(x
00
)| 6 C|x
0
− x
00
|.
f ∈ (E) E
R
f(x) = sin x
|sin x
0
− sin x
00
| =
¯
¯
¯
2 sin
x
0
− x
00
2
cos
x
0
+ x
00
2
¯
¯
¯
6
¯
¯
¯
2 sin
x
0
− x
00
2
¯
¯
¯
6 |x
0
− x
00
|
R
f E
α (0 < α 6 1) f ∈ H
(α)
(E)
∃C ∀x
0
, x
00
∈ E ⇒ |f(x
0
) − f(x
00
)| 6 C|x
0
− x
00
|
α
.
α > 1
Ëåêöèÿ 17                                                                                 105


   Ýòà òåîðåìà ìîæåò ãàðàíòèðîâàòü ðàâíîìåðíóþ íåïðåðûâíîñòü òîëüêî
íà îãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâàõ. Íî ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ðàâíîìåðíî íåïðå-
ðûâíîé è íà íåîãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå, íàïðèìåð, f (x) = sin x ðàâíîìåð-
íî íåïðåðûâíà íà âñåì ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R.
   Èìåþòñÿ áîëüøèå êëàññû ôóíêöèé, ñîñòîÿùèå òîëüêî èç ðàâíîìåðíî
íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé:
   Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèï-
øèöà íà ìíîæåñòâå E (è ïèøóò f ∈ Lip(E)), êîãäà

                 ∃C ∀x0 , x00 ∈ E ⇒ |f (x0 ) − f (x00 )| 6 C|x0 − x00 |.

   Î÷åâèäíî, ôóíêöèè f ∈ Lip(E) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíû íà E .  êà÷å-
ñòâå ïðèìåðà ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ Ëèïøèöà (íà R) ìîæíî
ïðèâåñòè f (x) = sin x:
                         ¯      x0 − x00     x0 + x00 ¯¯ ¯¯       x0 − x00 ¯¯
                         ¯
  | sin x0 − sin x00 | = ¯2 sin          cos           ¯ 6 ¯2 sin           ¯ 6 |x0 − x00 |
                                   2            2                    2
(îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò åå ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü íà R)
    Îòìåòèì, ÷òî ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íå îáÿçàíà óäîâëåòâî-
ðÿòü óñëîâèþ Ëèïøèöà.
    Ñëåäóþùåå óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì óñëîâèÿ Ëèïøèöà.
    Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f óäîâëåòâîðÿåò íà E óñëîâèþ
Ãåëüäåðà ñ ïîêàçàòåëåì α (0 < α 6 1) è ïèøóò f ∈ H (α) (E), êîãäà

                ∃C ∀x0 , x00 ∈ E ⇒ |f (x0 ) − f (x00 )| 6 C|x0 − x00 |α .

   Çàäà÷à. Äîêàçàòü, ÷òî óñëîâèþ Ã
                                  åëüäåðà ñ ïîêàçàòåëåì α > 1 óäîâëå-
òâîðÿþò òîëüêî ôóíêöèè òîæäåñòâåííî ðàâíûå êîíñòàíòå.


Ëåêöèÿ 17.
Îáùåå ïîíÿòèå ïðåäåëà
Ñîäåðæàíèå ýòîé ëåêöèè ïîêà íå âõîäèò â îáÿçàòåëüíóþ ïðîãðàììó äëÿ
ìàòåìàòèêîâ-ïðèêëàäíèêîâ è ÿ ïðèâîæó åãî òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òîáû íå
ñêðûâàòü îò æåëàþùèõ îáùóþ êîíöåïöèþ ïðåäåëà, òàê êàê îâëàäåíèå åþ
ïîçâîëÿåò ãîðàçäî ãëóáæå ïîíèìàòü ñèòóàöèè, â êîòîðûõ ðå÷ü èäåò î òî-
ïîëîãèè è ïðåäåëüíûõ ïåðåõîäàõ. Ìíîãèå âåùè, äîêàçûâàåìûå â êëàññè÷å-
ñêîì àíàëèçå, ñòàíîâÿòñÿ òðèâèàëüíûìè, åñëè ïîñìîòðåòü íà íèõ ñ áîëåå
îáùåé òî÷êè çðåíèÿ  òåîðèè ôèëüòðîâ, íà êîòîðîé îñíîâàíî îáùåå ïîíÿ-
òèå ïðåäåëà.

Страницы