Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

sin
1
x
(0, 1)
(0, 1) 0
ε = 1 δ > 0
x
0
=
1
2π n
x
00
=
1
2πn +
π
2
n
|x
0
− x
00
| =
1
2πn
−
1
2πn +
π
2
=
π/2
2πn(2πn +
π
2
)
< δ
|f(x
0
) − f(x
00
)| =
¯
¯
¯
sin 2πn − sin
³
2πn +
π
2
´
¯
¯
¯
= 1
sin
1
x
(0, 1)
K
K
f ∈ C(K) ∧ K b R ⇒ f K.
f
ε > 0 x
0
∈ K δ(x
0
)
x
00
∈ U
δ (x
0
)
(x
0
) |f(x
0
) − f(x
00
)| < ε/2
{U
δ(x
0
)
2
(x
0
) : x
0
∈ K} K
{U
δ(x
1
)
2
(x
1
), . . . , U
δ(x
n
)
2
(x
n
)}
δ = min{
δ (x
1
)
2
, . . . ,
δ(x
n
)
2
}
|x
0
− x
00
| < δ x
k
x
0
∈ U
δ(x
k
)
2
(x
k
)
U
δ(x
i
)
2
(x
i
) (i = 1, . . . , n) K
|x
00
− x
k
| 6 |x
00
− x
0
| + |x
0
− x
k
| < δ +
δ(x
k
)
2
< δ(x
k
)
x
0
, x
00
∈ U
δ (x
k
)
(x
k
)
|f(x
0
) − f(x
00
)| < |f(x
0
) − f(x
k
)| + |f(x
k
) − f(x
00
)| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
104                                                                           Êëåâ÷èõèí Þ.À


   2. sin x1 íà (0, 1). Îïÿòü, ëåãêî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà èí-
òåðâàëå (0, 1), íî â ñàìîé òî÷êå 0 èìååò ðàçðûâ (2-ãî ðîäà). Ïðåäñòàâèâ ñåáå
ïîâåäåíèå ôóíêöèè âáëèçè íóëÿ, ìû äëÿ ε = 1 è ëþáîãî δ > 0 âûáåðåì
                          1             1
(áëèçêî ê íóëþ!) x0 = 2πn   , à x00 = 2πn+ π , ãäå n âîçüìåì òàêèì, ÷òîáû
                                                   2


                                   1     1                     π/2
                  |x0 − x00 | =      −            π    =                  <δ
                                  2πn 2πn +       2        2πn(2πn + π2 )

(î÷åâèäíî, ýòî âñåãäà ìîæíî ñäåëàòü). Òîãäà,
                                     ¯             ³      π ´¯¯
                                     ¯
              |f (x0 ) − f (x00 )| = ¯sin 2πn − sin 2πn +     ¯=1
                                                          2
Òî åñòü âûïîëíåíî îòðèöàíèå óñëîâèÿ ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè è sin x1
íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé íà (0, 1).
   Ïîêà ìû ïðèâåëè ïðèìåðû òîëüêî íåðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûõ ôóíê-
öèé. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äàåò ìíîãî ïðèìåðîâ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé.
   Òåîðåìà (Ã. Êàíòîð) Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà êîìïàêòå K , òî
îíà ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà K .

           f ∈ C(K) ∧ K b R ⇒ f  ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà K.

    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Â ñèëó íåïðåðûâíîñòè f â êàæäîé òî÷-
êå, äëÿ ëþáîãî ε > 0 è ëþáîãî x0 ∈ K âûáåðåì δ(x0 ) òàê, ÷òîáû ïðè
x00 ∈ Uδ(x0 ) (x0 ) âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî |f (x0 ) − f (x00 )| < ε/2. Êëàññ ìíî-
æåñòâ {U δ(x0 ) (x0 ) : x0 ∈ K} ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ïîêðûòèåì K , ïîýòîìó â
             2
íåì èìååòñÿ êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå, ñêàæåì, {U δ(x1 ) (x1 ), . . . , U δ(xn ) (xn )}.
                                                                   2                  2

Ïîëîæèì δ = min{ δ(x21 ) , . . . , δ(x2n ) }.
  Åñëè |x0 − x00 | < δ íàéäåì ñíà÷àëà òàêîå xk , ÷òî x0 ∈ U δ(xk ) (xk ) (ýòî
                                                                                  2
ìîæíî ñäåëàòü, òàê êàê âñå U δ(xi ) (xi ) (i = 1, . . . , n) ïîêðûâàþò K ). Òîãäà
                                         2


                                                                δ(xk )
                 |x00 − xk | 6 |x00 − x0 | + |x0 − xk | < δ +          < δ(xk )
                                                                  2
òî åñòü x0 , x00 ∈ Uδ(xk ) (xk ). Ïîýòîìó
                                                                              ε ε
        |f (x0 ) − f (x00 )| < |f (x0 ) − f (xk )| + |f (xk ) − f (x00 )| <    + = ε.
                                                                              2 2
      ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Страницы