Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

{U
1
(x) :
x ∈ K} {U
1
(x
1
), . . . , U
1
(x
n
)}
x
1
< x
2
< ··· < x
n
x ∈ K
x
1
− 1 < x < x
n
+ 1
(⇐) K
[m; M] m K M
[m; M] K ⊂ [m; M]
f K
K
f ∈ C(K) ∧ K b R ⇒ f ∈ B(K).
f
K x ∈ K ε = 1 δ(x)
x
0
∈ U
δ(x)
(x) |f(x
0
) − f(x)| < 1
{U
δ ( x)
(x) : x ∈ K}
K K
{U
δ(x
1
)
(x
1
), . . . , U
δ(x
n
)
(x
n
)} m = min
16k6n
f(x
k
) − 1 M =
max
16k6n
f(x
k
) + 1 x ∈ K m < f(x) < M
{U
δ (x
1
)
(x
1
), . . . , U
δ (x
n
)
(x
n
)}
x x
k
x ∈ U
δ (x
k
)
(x
k
)
f(x) =
<1
z }| {
f(x) − f(x
k
) +f(x
k
) > −1 + min
16k6n
f(x
k
) = m.
f(x) < 1 + max
16k6n
f(x
k
) = M
K
f
X
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x
0
, x
00
∈ X : |x
0
− x
00
| < δ ⇒ |f(x
0
) − f(x
00
)| < ε.
102                                                                 Êëåâ÷èõèí Þ.À


    Äîêàæåì îãðàíè÷åííîñòü. Äëÿ ýòîãî èç îòêðûòîãî ïîêðûòèÿ {U1 (x) :
x ∈ K} âûáåðåì êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå, ñêàæåì, {U1 (x1 ), . . . , U1 (xn )}. Ìîæ-
íî ñ÷èòàòü, ÷òî x1 < x2 < · · · < xn , òîãäà âèäèì, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ K
âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà x1 − 1 < x < xn + 1.
    (⇐) Ìíîæåñòâî K îãðàíè÷åíî, ñëåäîâàòåëüíî, ñîäåðæèòñÿ â ïðîìåæóò-
êå [m; M ], ãäå m  ïðîèçâîëüíàÿ ìèíîðàíòà ìíîæåñòâà K , à M  ìàæîðàí-
òà. Ïî òåîðåìå Áîðåëÿ [m; M ]  êîìïàêò. À òàê êàê K ⊂ [m; M ] çàìêíóòî,
îíî òàêæå êîìïàêòíî.
    ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
    Êàê ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà êîìïàêòíîñòè ïðèâåäåì îáîáùåíèå ïåðâîé
òåîðåìû Âåéåðøòðàññà.
    Òåîðåìà Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà êîìïàêòå K , òî îíà îãðà-
íè÷åíà íà K .
                      f ∈ C(K) ∧ K b R ⇒ f ∈ B(K).
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî óñëîâèþ ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â êàæ-
äîé òî÷êå K , ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî x ∈ K è ε = 1 íàéäåòñÿ òàêîå δ(x), ÷òî
ïðè âñåõ x0 ∈ Uδ(x) (x) áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî |f (x0 ) − f (x)| < 1.
Ìíîæåñòâî îêðåñòíîñòåé {Uδ(x) (x) : x ∈ K} ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ïîêðû-
òèåì K .  ñèëó êîìïàêòíîñòè K â íåì èìååòñÿ êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå,
ñêàæåì, {Uδ(x1 ) (x1 ), . . . , Uδ(xn ) (xn )}. Ïîëîæèì m = min f (xk ) − 1, M =
                                                               16k6n
max f (xk ) + 1 è ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ K èìååì m < f (x) < M .
16k6n
  Â ñàìîì äåëå, ïîñêîëüêó {Uδ(x1 ) (x1 ), . . . , Uδ(xn ) (xn )}  ïîêðûòèå, äëÿ
ëþáîãî x íàéäåòñÿ òàêîå xk , ÷òî x ∈ Uδ(xk ) (xk ). Òîãäà

                      ïî ìîäóëþ<1
                     z     }|     {
             f (x) = f (x) − f (xk ) +f (xk ) > −1 + min f (xk ) = m.
                                                       16k6n


Àíàëîãè÷íî f (x) < 1 + max f (xk ) = M .
                            16k6n
   ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Îòìåòèì, ÷òî îáîáùåíèå âòîðîé òåîðåìû Âåéåðøòðàññà (íà ïðîèçâîëü-
íûå êîìïàêòû K ) òîæå ñïðàâåäëèâî.

Ðàâíîìåðíàÿ íåïðåðûâíîñòü
Îïðåäåëåíèå.     Ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé íà ìíî-
æåñòâå X , åñëè óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

        ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x0 , x00 ∈ X : |x0 − x00 | < δ ⇒ |f (x0 ) − f (x00 )| < ε.

Страницы