Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

n b
n
− a
n
< ε x
0
∈ [a
n
; b
n
]
[a
n
; b
n
] ⊂ U
ε
(x
0
) ⊂ G [a
n
; b
n
]
G
G ∈ G
K F K
F
K b R ∧ F ⊂ K ∧ F ⇒ F b R.
G
F F
c
G ∪{F
c
} K R
K {G
1
, . . . , G
n
}
K F ⊂ K F
c
{G
1
, . . . , G
n
}
F
c
G
i
K F F F
c
G
K ⊂ R
K
K b R ⇔ K ∧ K .
(⇒) K
e x
0
K x
0
/∈ K G
δ
=
{x : |x − x
0
| > δ} K
K ⊂
[
δ > 0
G
δ
.
x ∈ K x 6= x
0
|x−x
0
| = δ
1
> 0
x ∈ G
δ
1
/2
|x − x
0
| = δ
1
> δ
1
/2 x
0
S
δ > 0
G
δ
S
δ>0
G
δ
= R − {x
0
}
K
G
δ
1
G
δ
2
G
δ
n
δ = min{δ
1
, . . . , δ
n
}
G
δ
⊃ K U
δ
(x
0
) ∩ K = ∅ x
0
K K
Ëåêöèÿ 16                                                                    101


     Âûáåðåì òåïåðü n òàê, ÷òîáû bn − an < ε. Òàê êàê x0 ∈ [an ; bn ], òî
[an ; bn ] ⊂ Uε (x0 ) ⊂ G?! Ìû âåäü âûáèðàëè îòðåçîê [an ; bn ] òàê, ÷òî îí íå
ïîêðûâàåòñÿ íèêàêèì êîíå÷íûì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ èç G, à îêàçàëîñü, ÷òî
îí ïîêðûâàåòñÿ îäíèì ìíîæåñòâîì G ∈ G.
     Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó.
     Òåîðåìà. Åñëè K  êîìïàêòíî, à F çàìêíóòî è ñîäåðæèòñÿ â K ,
òî F êîìïàêòíî:
                 K b R ∧ F ⊂ K ∧ F  çàìêíóòî ⇒ F b R.

   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü G  ïðîèçâîëüíîå îòêðûòîå ïî-
êðûòèå ìíîæåñòâà F . Äîáàâèì ê íåìó îòêðûòîå ìíîæåñòâî F c (íàïîìíèì,
÷òî äîïîëíåíèå ê çàìêíóòîìó ìíîæåñòâó îòêðûòî). Ïîëó÷åííîå ìíîæå-
ñòâî G ∪ {F c }, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ïîêðûòèåì K (è äàæå âñåãî R).  ñèëó
êîìïàêòíîñòè K â íåì èìååòñÿ êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå {G1 , . . . , Gn } ìíî-
æåñòâà K , à, çíà÷èò, è F ⊂ K òîæå. Åñëè â íåì îòñóòñòâóåò ìíîæåñòâî F c ,
òî íóæíîå êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå ìû íàøëè. Åñëè æå ñðåäè {G1 , . . . , Gn }
åñòü ìíîæåñòâî F c , òî âñå îñòàâøèåñÿ ìíîæåñòâà Gi ïåðåñòàâ, âîîáùå ãî-
âîðÿ, áûòü ïîêðûòèåì äëÿ K , îñòàíóòñÿ ïîêðûòèåì äëÿ F , òàê êàê F è F c
íå èìåþò îáùèõ òî÷åê. È ìû îïÿòü íàøëè íóæíîå êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå
â G.
   Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Òåîðåìà. Ìíîæåñòâî K ⊂ R êîìïàêòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà K  çàìêíóòî è îãðàíè÷åíî:
                K b R ⇔ K  çàìêíóòî ∧ K  îãðàíè÷åíî.

    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. (⇒) Äîêàæåì ñíà÷àëà çàìêíóòîñòü K .
   e     Ïóñòü x0  ïðåäåëüíàÿ òî÷êà K è x0 ∈  / K . Òîãäà ìíîæåñòâà Gδ =
{x : |x − x0 | > δ} îáðàçóþò îòêðûòîå ïîêðûòèå K :
                                       [
                                  K⊂     Gδ .
                                       δ>0

   Â ñàìîì äåëå, åñëè x ∈ K , òî x 6= x0 , ïîýòîìó |x − x0 | = δ1 > 0. ÍîS
                                                                         òîãäà
x ∈ Gδ1 /2 , òàê êàê |x − x0 | = δ1 > δ1 /2. Çíà÷èò, x0 ïðèíàäëåæèò         Gδ .
                                     S                                  δ>0
(Ëåãêî âèäåòü, ÷òî íà ñàìîì äåëå        Gδ = R − {x0 })
                                     δ>0
    ñèëó êîìïàêòíîñòè K èç ýòîãî ïîêðûòèÿ ìîæíî èçâëå÷ü êîíå÷íîå
ïîäïîêðûòèå, ñêàæåì, Gδ1 , Gδ2 ,. . . , Gδn . Ïðè δ = min{δ1 , . . . , δn } òîãäà
Gδ ⊃ K è, çíà÷èò, Uδ (x0 ) ∩ K = ∅. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî x0 
ïðåäåëüíàÿ òî÷êà K . È çàìêíóòîñòü K äîêàçàíà.

Страницы