Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

R
R
T
T
T T
T T
T
T
T
T
T
0
= {∅, T }
T
1
= P(T )
A
X R
S
X∈X
X ⊃ A X
X A
G A
G ∈ G
Ëåêöèÿ 16                                                             99


òî åñòü ÿâëÿåòñÿ äîïîëíåíèåì ê îòêðûòîìó ìíîæåñòâó, çíà÷èò, çàìêíóòî.
   ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Òåîðåìà. Îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî êîëè÷åñòâà çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ
çàìêíóòî.
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ ïåðåõîäîì ê äîïîëíåíèÿì
àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåé òåîðåìå è åãî ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîâåñòè ñàìîñòîÿ-
òåëüíî.
   Çàäà÷à. Ìû óæå ïðèâîäèëè ïðèìåð, êîãäà ïåðåñå÷åíèå áåñêîíå÷íîãî
÷èñëà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ íå ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì. Ïðèäóìàéòå ïðèìåð,
êîãäà îáúåäèíåíèå áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ íå ÿâëÿåòñÿ
çàìêíóòûì.
   Òî, ÷òî ìû ïðîäåëàëè äî ñèõ ïîð  ýòî îïðåäåëèëè (îïèñàëè, ïîñòðî-
èëè), òàê íàçûâàåìóþ, ñòàíäàðòíóþ òîïîëîãèþ íà ìíîæåñòâå âñåõ äåé-
ñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R. Êàê áóäåò âèäíî èç ñëåäóþùåãî íèæå îïðåäåëåíèÿ,
íà R ñóùåñòâóþò è äðóãèå òîïîëîãèè (ìåíåå õîðîøèå).
    îáùåì ñëó÷àå òîïîëîãèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñóùå-
ñòâóþò è äðóãèå ýêâèâàëåíòíûå ñïîñîáû)
   Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî T íàçûâàåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèì ïðîñòðàí-
ñòâîì, åñëè â íåì âûäåëåí êëàññ ïîäìíîæåñòâ T ñî ñâîéñòâàìè:
   1. Îáúåäèíåíèå ëþáîãî êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ èç T ïðèíàäëåæèò T ;
   2. Ïåðåñå÷åíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ èç T ïðèíàäëåæèò T .
È â ýòîì ñëó÷àå ýëåìåíòû èç T íàçûâàþò îòêðûòûìè ìíîæåñòâàìè, à
èõ äîïîëíåíèÿ  çàìêíóòûìè ìíîæåñòâàìè. Ñàìî ìíîæåñòâî T íàçû-
âàþò òîïîëîãèåé íà ìíîæåñòâå T .
   Çàäà÷à. Äîêàçàòü, ÷òî íà ëþáîì (íåïóñòîì) ìíîæåñòâå T áóäóò òîïî-
ëîãèÿìè:
   1. T0 = {∅, T } (Ýòà òîïîëîãèÿ íàçûâàåòñÿ òðèâèàëüíîé)
   2. T1 = P(T ) (Ýòà òîïîëîãèÿ íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíîé)


Ëåêöèÿ 16.
Ïðèíöèï êîìïàêòíîñòè
Âñþäó â ýòîì ðàçäåëå ìû íàçûâàåì
                         S       ïîêðûòèåì ìíîæåñòâà A òàêîé êëàññ
ïîäìíîæåñòâ X èç R, ÷òî     X ⊃ A. (îáúåäèíåíèå âñåõ ïîäìíîæåñòâ X
                          X∈X
èç X ñîäåðæèò ìíîæåñòâî A)
   Îïðåäåëåíèå. Ïîêðûòèå G ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì, åñëè
âñå åãî ýëåìåíòû G ∈ G  îòêðûòûå ìíîæåñòâà.

Страницы