Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

2
∗
R
T
R G ∈ T G
R
∀(G
i
)
i∈I
∀i G
i
∈ T ⇒
[
i∈I
G
i
∈ T .
x ∈
S
i∈I
G
i
i
0
∈ I x ∈ G
i
0
G
i
0
U
δ
(x) G
i
0
G
i
x
S
i∈I
G
i
G =
S
i∈I
G
i
G
∀(G
i
)
i∈J
J ∧ ∀i G
i
∈ T ⇒
\
i∈J
G
i
∈ T .
x ∈
T
i∈J
G
i
i ∈ J
x ∈ G
i
G
i
U
δ
i
(x) G
i
δ = min{δ
i
: i ∈ J}
δ
δ
i
> 0 U
δ
(x)
U
δ
i
(x) ⊂ G
i
G
i
x
T
i∈J
G
i
G =
T
i∈J
G
i
G
(a −
1
n
; b) = G
n
∞
T
n=1
G
n
= [a; b) [a; b)
a
Ëåêöèÿ 15                                                                                 97


   2∗ . Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî â R ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíè-
åì íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà (âîçìîæíî áåñêîíå÷íîãî) ïîïàðíî íåïåðåñåêàþ-
ùèõñÿ èíòåðâàëîâ.
   Îáîçíà÷èì ÷åðåç T êëàññ1 âñåõ îòêðûòûõ ìíîæåñòâ, ñîäåðæàùèõñÿ â
R. Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèå G ∈ T îçíà÷àåò â òî÷íîñòè òî, ÷òî G 
îòêðûòîå ìíîæåñòâî â R.
   Òåîðåìà. Îáúåäèíåíèå ëþáîãî êîëè÷åñòâà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ îò-
êðûòî:                                   [
                   ∀(Gi )i∈I ∀i Gi ∈ T ⇒   Gi ∈ T .
                                                   i∈I
                                                    S
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü x ∈                 Gi . Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå
                                                    i∈I
i0 ∈ I , ÷òî x ∈ Gi0 . Òàê êàê ïî ïðåäïîëîæåíèþ Gi0  îòêðûòî, èìååòñÿ
îêðåñòíîñòü Uδ (x), ñîäåðæàùàÿñÿ â Gi0 . Íî òîãäà îíà ñîäåðæèòñÿ
                                                        S           è â îáú-
åäèíåíèè âñåõ Gi . Çíà÷èò, x  âíóòðåííÿÿ òî÷êà äëÿ        Gi . Ìû äîêàçàëè
                                     S                 i∈I
ýòî äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè èç G =       Gi , çíà÷èò, G  îòêðûòî.
                                        i∈I

   Òåîðåìà.       Ïåðåñå÷åíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ îòêðû-
òî:
                                                                   \
       ∀(Gi )i∈J J  êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ∧ ∀i Gi ∈ T ⇒                    Gi ∈ T .
                                                                   i∈J
                                            T
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü x ∈         Gi . Òîãäà äëÿ ëþáîãî i ∈ J èìååì
                                            i∈J
x ∈ Gi . Òàê êàê ïî ïðåäïîëîæåíèþ Gi  îòêðûòî, èìååòñÿ îêðåñòíîñòü
Uδi (x), ñîäåðæàùàÿñÿ â Gi . Ïîëîæèì δ = min{δi : i ∈ J}. Îòìåòèì, ÷òî
δ ñòðîãî áîëüøå íóëÿ, òàê êàê ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì ñðåäè êîíå÷íîãî
÷èñëà δi > 0. Î÷åâèäíî, òîãäà Uδ (x) ñîäåðæèòñÿ â êàæäîé èç îêðåñòíîñòåé
Uδi (x) ⊂ GT i , çíà÷èò, è â ïåðåñå÷åíèè âñåõ Gi . Ïîýòîìó x  âíóòðåííÿÿ
                                                                    T
òî÷êà äëÿ        Gi . Ìû äîêàçàëè ýòî äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè èç G =   Gi ,
            i∈J                                                                     i∈J
çíà÷èò, G îòêðûòî.
   Îòìåòèì, ÷òî ïåðåñå÷åíèå áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ íå
îáÿçàíî áûòü îòêðûòûì. Íàïðèìåð, ïóñòü (a − n1 ; b) = Gn , òîãäà (äîêàçàòü
                T∞
ñàìîñòîÿòåëüíî)    Gn = [a; b). È ìíîæåñòâî [a; b) íå ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì
                    n=1
(òî÷êà a íå ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé).
  1 Ýòîò êëàññ ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì

Страницы