Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x
0
E
x
0
E
x
0
E
def
⇔ ∀δ > 0
◦
U
δ
(x
0
) ∩ E 6= ∅.
x
0
∃δ > 0 :
◦
U
δ
(x
0
) ∩ E = ∅.
x
0
E
E
E E = (a; b) a /∈ (a; b)
◦
U
δ
(a) ∩ (a; b) = (a; a + δ) 6= ∅.
a (a; b)
E = {1+
1
n
: n ∈ N} 1 E
◦
U
δ
(1)
n
0
0 <
1
n
0
< δ
1 +
1
n
0
∈
◦
U
δ
(1)
E = {(−1)
n
+
1
n
: n ∈ N}
3
∗
({na})
n∈N
na a
[0; 1]
G ⊂ R
G
def
⇔ ∀x x ∈ G ⇒ ∃δ > 0 U
δ
(x) ⊂ G.
(a; b) x ∈ (a; b)
a < x < b δ =
min{x − a, b − x} U
δ
(x) = (x − δ; x + δ) ⊂ (a; b)
x
96                                                        Êëåâ÷èõèí Þ.À


  Îïðåäåëåíèå. Òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé äëÿ ìíîæåñòâà E , åñëè
ëþáàÿ ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 èìååò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ñ E :
                                         def         ◦
              x0  ïðåäåëüíàÿ äëÿ E ⇔ ∀δ > 0 U δ (x0 ) ∩ E 6= ∅.

   Â ñîîòâåòñòâèè ñ îáùèì ïðàâèëîì ïîñòðîåíèÿ îòðèöàíèé âûñêàçûâà-
íèé, òî÷êà x0 íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé, êîãäà
                                     ◦
                            ∃δ > 0 : U δ (x0 ) ∩ E = ∅.

òî åñòü òî÷êà x0 äîëæíà èìåòü ïðîêîëîòóþ îêðåñòíîñòü, íåïåðåñåêàþùó-
þñÿ ñ E .
   Ïðèìåðû. 1. Âñÿêàÿ âíóòðåííÿÿ òî÷êà äëÿ E , î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ïðå-
äåëüíîé. Îáðàòíîå, â îáùåì ñëó÷àå íåâåðíî. Áîëåå òîãî, ïðåäåëüíàÿ òî÷êà
íå îáÿçàíà ïðèíàäëåæàòü E . Íàïðèìåð, ïóñòü E = (a; b). Òî÷êà a ∈
                                                                / (a; b),
íî
                      ◦
                      U δ (a) ∩ (a; b) = (a; a + δ) 6= ∅.
Çíà÷èò, a  ïðåäåëüíàÿ äëÿ (a; b).
   2. Ïóñòü E = {1+ n1 : n ∈ N}. Ïîêàæåì, ÷òî 1  ïðåäåëüíàÿ òî÷êà äëÿ E .
                                                            ◦
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè U δ (1), ñîãëàñíî
ñëåäñòâèþ èç ïðèíöèïà Àðõèìåäà, íàéäåòñÿ òàêîå n0 , ÷òî 0 < n10 < δ .
                       ◦
Íî òîãäà 1 + n10 ∈ U δ (1), òî åñòü ïåðåñå÷åíèå íåïóñòî. ×òî è òðåáîâàëîñü
äîêàçàòü.
   Çàäà÷è. 1. Äîêàçàòü, ÷òî ó ìíîæåñòâà èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà íåò
äðóãèõ ïðåäåëüíûõ òî÷åê.
   2. Íàéòè âñå ïðåäåëüíûå òî÷êè ìíîæåñòâà E = {(−1)n + n1 : n ∈ N}.
   3∗ . Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ({na})n∈N
äðîáíûõ ÷àñòåé ÷èñåë na, ãäå a  ôèêñèðîâàííîå èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî
(ïðîèçâîëüíîå), ïðåäåëüíûìè ÿâëÿþòñÿ âñå òî÷êè îòðåçêà [0; 1].
   Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî G ⊂ R íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì, åñëè ñîñòîèò
òîëüêî èç âíóòðåííèõ òî÷åê:
                               def
                G  îòêðûòî ⇔ ∀x x ∈ G ⇒ ∃δ > 0 Uδ (x) ⊂ G.

   Ïðèìåðû 1. Èíòåðâàë (a; b)  îòêðûòîå ìíîæåñòâî. Åñëè x ∈ (a; b),
òî âûïîëíÿþòñÿ ñòðîãèå íåðàâåíñòâà a < x < b), ïîýòîìó, îáîçíà÷àÿ δ =
min{x − a, b − x}, ïîëó÷èì1 Uδ (x) = (x − δ; x + δ) ⊂ (a; b), òî åñòü êàæäàÿ
òî÷êà x  âíóòðåííÿÿ.
     1 Íàðèñóéòå êàðòèíêó

Страницы