Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

F
F
def
⇔ (∀x) x F ⇒ x ∈ F
[a; b]
x /∈ [a; b] x < a x > b x < a δ = a − x > 0
◦
U
δ
(x) ∩ [a; b] = ∅ x
[a; b] b < x [a; b]
F
R
∅ [a; b)
F ⇒ F
c
∈ T , G ∈ T ⇒ G
c
.
F x ∈ F
c
x F
U
δ
(x)
F F
c
x
F
c
U
δ
(x) x ∈ F
c
F
c
G x G
c
x /∈ G
G
G
c
x
G
c
x ∈ G
c
G
c
F
i
i ∈ I
i ∈ I F
c
i
S
i∈I
F
c
i
\
i∈I
F
i
=
³
[
i∈I
F
c
i
´
c
98                                                        Êëåâ÷èõèí Þ.À


   Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî F íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè ñîäåðæèò
âñå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè:
                         def
         F  çàìêíóòî ⇔ (∀x) x  ïðåäåëüíàÿ äëÿ F ⇒ x ∈ F


   Ïðèìåðû. 1. Îòðåçîê [a; b]  çàìêíóòîå ìíîæåñòâî. Äåéñòâèòåëüíî,
åñëè x ∈
       / [a; b], òî èëè x < a, èëè x > b. Åñëè x < a, òî áåðÿ δ = a − x > 0,
            ◦
âèäèì, ÷òî U δ (x) ∩ [a; b] = ∅, òî åñòü x íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé
äëÿ [a; b]. Ñëó÷àé b < x ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Òàêèì îáðàçîì, [a; b]
ñîäåðæèò âñå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè, òî åñòü çàìêíóòî.
   2. Ëþáîå ìíîæåñòâî F , ñîñòîÿùåå èç êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê, çàìêíóòî.
Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.
   3. Ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R îäíîâðåìåííî îòêðûòî è
çàìêíóòî. Ïî îïðåäåëåíèþ ýòèì ñâîéñòâîì åùå îáëàäàåò ïóñòîå ìíîæåñòâî
∅. À, íàïðèìåð, ïðîìåæóòîê [a; b) íå ÿâëÿåòñÿ íè îòêðûòûì, íè çàìêíóòûì
ìíîæåñòâîì.
   Òåîðåìà. Äîïîëíåíèå ê çàìêíóòîìó ìíîæåñòâó ÿâëÿåòñÿ îòêðû-
òûì ìíîæåñòâîì, à äîïîëíåíèå ê îòêðûòîìó ìíîæåñòâó çàìêíóòî.
         F  çàìêíóòî ⇒ F c ∈ T ,       G ∈ T ⇒ Gc  çàìêíóòî.
    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü F  çàìêíóòî. Ñîîòíîøåíèå x ∈ F c
îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êà x íå ïðèíàäëåæèò çàìêíóòîìó ìíîæåñòâó F , ïîýòîìó
íå ÿâëÿåòñÿ äëÿ íåãî ïðåäåëüíîé. Çíà÷èò, èìååòñÿ îêðåñòíîñòü Uδ (x) íåïå-
ðåñåêàþùàÿñÿ ñ F , à ïîòîìó ñîäåðæàùàÿñÿ â F c . Òî åñòü x ïðèíàäëåæèò
F c âìåñòå ñ îêðåñòíîñòüþ Uδ (x). Ìû ïîêàçàëè, ÷òî ëþáàÿ òî÷êà x ∈ F c 
âíóòðåííÿÿ, çíà÷èò, F c  îòêðûòî.
    Ïóñòü G  îòêðûòî è òî÷êà x  ïðåäåëüíàÿ äëÿ Gc . Òîãäà x ∈
                                                              / G, èíà÷å
îíà ïðèíàäëåæàëà áû G âìåñòå ñ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòüþ è ýòà îêðåñò-
íîñòü íå ïåðåñåêàëàñü áû ñ Gc , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî x ïðåäåëüíàÿ
äëÿ Gc . Çíà÷èò, x ∈ Gc è Gc ñîäåðæèò âñå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè.
    ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
    Òåîðåìà. Ïåðåñå÷åíèå ïðîèçâîëüíîãî êîëè÷åñòâà çàìêíóòûõ ìíî-
æåñòâ çàìêíóòî.
    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü Fi ïðè i ∈ I çàìêíóòû. Òîãäà äëÿ
                            c
ëþáîãî
 S c i ∈ I ìíîæåñòâà Fi  îòêðûòû ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå, çíà÷èò,
    Fi òîæå îòêðûòî, íî
i∈I                                   ³ [ ´c
                              \
                                 Fi =     Fic
                               i∈I    i∈I

Страницы