Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

G A
H ⊂ G A G
(a; b) R G = {U
ε
(x) :
x ∈ (a; b)} G (a; b) N =
£
b−a
ε
¤
[·] {U
ε
(a + ε), U
ε
(a + 2ε), . . . , U
ε
(a + Nε)}
G
K A
K
K K
K
K X K b
X
K
[a; b]
e {G : G ∈ G}
[a; b]
[a; b]
a+b
2
[a
1
; b
1
]
G ∈ G
G G
[a
1
; b
1
]
G G
[a
n
; b
n
]
b
n
− a
n
=
b−a
2
n
−−−−→
n→∞
0
x
0
∈ [a; b]
∞
\
n=1
[a
n
; b
n
] = {x
0
}.
G [a; b] x
0
G ∈ G G U
ε
(x
0
) ⊂ G
100                                                             Êëåâ÷èõèí Þ.À


     Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü G  ïîêðûòèå ìíîæåñòâà A. Åñëè ïîäìíîæåñòâî
H ⊂ G îñòàëîñü ïîêðûòèåì A, åãî íàçûâàþò ïîäïîêðûòèåì ïîêðûòèÿ G.
     Ïðèìåð Ïóñòü (a; b) èíòåðâàë â ìíîæåñòâå R. Ïîëîæèì G = {U£ε (x) ¤:
x ∈ (a; b)}. Î÷åâèäíî, G  îòêðûòîå ïîêðûòèå (a; b). Ïîëîæèì N = b−a             ε
([·]  öåëàÿ ÷àñòü). Òîãäà1 {Uε (a + ε), Uε (a + 2ε), . . . , Uε (a + N ε)}  ïîäïî-
êðûòèå G.
     Îïðåäåëåíèå. Ïîêðûòèå K ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì, åñëè
K ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ.
     Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî K íàçûâàåòñÿ êîìïàêòíûì (èëè, èíà÷å, K
 êîìïàêò ), åñëè â ëþáîì åãî îòêðûòîì ïîêðûòèè èìååòñÿ êîíå÷íîå ïîä-
ïîêðûòèå.
     Áîëåå îáðàçíî òî æå ñàìîå âûðàæàþò ñëîâàìè: K  êîìïàêòíî, êîãäà
èç ëþáîãî åãî îòêðûòîãî ïîêðûòèÿ ìîæíî èçâëå÷ü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå.
      ñëó÷àå, êîãäà K êîìïàêòíîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà X , ïèøóò K b
X.
     Ïðèìåð. Ìíîæåñòâî K , ñîñòîÿùåå èç êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê, êîìïàêò-
íî. Ýòî âïîëíå î÷åâèäíî, íî èìåþòñÿ è áåñêîíå÷íûå êîìïàêòíûå ìíîæå-
ñòâà. Ïðèìåðû òàêèõ ìíîæåñòâ äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
     Òåîðåìà (Ý. Áîðåëü) Çàìêíóòûé èíòåðâàë [a; b] ÿâëÿåòñÿ êîìïàêò-
íûì ìíîæåñòâîì:
     Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.e    Ïóñòü {G : G ∈ G}  îòêðûòîå ïîêðûòèå
[a; b], â êîòîðîì íåò êîíå÷íîãî ïîäïîêðûòèÿ.
     (Ìåòîä äèõîòîì  èè) Ðàçäåëèì îòðåçîê [a; b] òî÷êîé a+b      2 ïîïîëàì è îáî-
çíà÷èì ÷åðåç [a1 ; b1 ] òó èç ïîëîâèíîê, êîòîðàÿ íå ïîêðûâàåòñÿ íèêàêèì êî-
íå÷íûì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ G ∈ G. (Åñëè òàêîâû îáå, òî âûáèðàåì ëþáóþ,
íàïðèìåð, ëåâóþ. Åñëè áû òàêîé íå áûëî, òî âåñü èíòåðâàë ïîêðûâàëñÿ áû
êîíå÷íûì ÷èñëîì ìíîæåñòâ G èç G, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ).
     Òåïåðü, äåëèì îòðåçîê [a1 ; b1 ] ïîïîëàì è îïÿòü âûáèðàåì òó èç ïîëîâè-
íîê, êîòîðàÿ íå ïîêðûâàåòñÿ êîíå÷íûì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ G èç G. È òàê
äàëåå.
      ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåííûõ îòðåçêîâ [an ; bn ],
ó êîòîðûõ bn − an = b−a    2n − −−−→ 0. Ïî òåîðåìå Êàíòîðà âñå îíè èìåþò
                               n→∞
åäèíñòâåííóþ îáùóþ òî÷êó, ñêàæåì, x0 ∈ [a; b]:
                                ∞
                                \
                                     [an ; bn ] = {x0 }.
                               n=1

Òàê êàê G ïîêðûòèå [a; b], ýòà òî÷êà x0 ïðèíàäëåæèò êàêîìó-òî ìíîæåñòâó
G ∈ G. À ïîñêîëüêó G  îòêðûòî, òî ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü Uε (x0 ) ⊂ G.
  1 Íàðèñóéòå êàðòèíêó

Страницы