Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(y
n
)
(x
n
)
(y
n
) x
n
= o(y
n
)
x
n
= o(y
n
) n → ∞
x
n
y
n
y
n
→ 0 n → ∞
n = o(n
2
) n → ∞ (n) (n
2
)
x
0
E
E
x
0
E
def
⇔ ∃δ > 0 U
δ
(x
0
) ⊂ E. (∗)
x
0
E
(∗) U
δ
(x
0
)
E
U
δ
(x
0
) E U
δ
(x
0
) − E 6= ∅
∀δ > 0 U
δ
(x
0
) − E 6= ∅.
E = [a; b] x
0
∈ (a; b)
a < x
0
< b x
0
[a; b]
δ = min{x
0
−a, b −x
0
} U
δ
(x
0
) = (x
0
−δ; x
0
+ δ) ⊂
[a; b]
a b [a; b] [a; b]
a b
a
(a − δ; a + δ)
(a − δ; a + δ) − [a; b] = (a − δ; a) 6= ∅.
Ëåêöèÿ 15                                                                   95


   Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (yn ) åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ, òî ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü (xn ) íàçûâàþò áåñêîíå÷íî ìàëîé áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî ñðàâíå-
íèþ ñ (yn ), åñëè xn = o(yn ).
   Çàìå÷àíèå. Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ xn = o(yn ) ïðè n → ∞ íåäîñòàòî÷-
íî, ÷òîáû ãîâîðèòü, ÷òî  xn  áåñêîíå÷íî ìàëàÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà
÷åì yn . Íàäî åùå, ÷òîáû yn → 0 ïðè n → ∞. Íàïðèìåð, î÷åâèäíî, ÷òî
n = o(n2 ) ïðè n → ∞, íî íè (n), íè (n2 ) íå ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûìè.

Íåêîòîðûå òîïîëîãè÷åñêèå ïîíÿòèÿ
Áîëåå ïîäðîáíî ýëåìåíòû òîïîëîãèè ìû èçó÷èì â ñëåäóþùåì ñåìåñòðå ïðè
èçó÷åíèè ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, à çäåñü ìû ðàññìîòðèì òîëüêî
íåñêîëüêî îáùèõ ïîíÿòèé, êîòîðûå ïîíàäîáÿòñÿ íàì â áëèæàéøåå âðåìÿ.
   Îïðåäåëåíèå. Òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ âíóòðåííåé äëÿ ìíîæåñòâà E ,
åñëè îíà ïðèíàäëåæèò E âìåñòå ñ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòüþ:
                                          def
             x0  âíóòðåííÿÿ äëÿ E ⇔ ∃δ > 0 Uδ (x0 ) ⊂ E.                   (∗)

    Òî÷êà x0 íå ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé äëÿ E , êîãäà äëÿ íåå âûïîëíÿåòñÿ
îòðèöàíèå óñëîâèÿ (∗), òî åñòü íèêàêàÿ îêðåñòíîñòü Uδ (x0 ) íå ñîäåðæèò-
ñÿ öåëèêîì â E . Î÷åâèäíî, ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ëþáàÿ îêðåñòíîñòü
Uδ (x0 ) ñîäåðæèò òî÷êè, íå ïðèíàäëåæàùèå E èëè Uδ (x0 ) − E 6= ∅:

                           ∀δ > 0 Uδ (x0 ) − E 6= ∅.

     Ïðèìåðû 1. Ïóñòü E = [a; b]. Åñëè x0 ∈ (a; b) (ò.å. âûïîëíÿþòñÿ ñòðîãèå
íåðàâåíñòâà a < x0 < b), òî x0  âíóòðåííÿÿ äëÿ [a; b]. Â ñàìîì äåëå,
îáîçíà÷èâ ÷åðåç δ = min{x0 − a, b − x0 }, ïîëó÷èì Uδ (x0 ) = (x0 − δ; x0 + δ) ⊂
[a; b] 1
     2. Òî÷êè a è b îòðåçêà [a; b] íå ÿâëÿþòñÿ âíóòðåííèìè äëÿ [a; b] (÷òî
âïîëíå ñîãëàñóåòñÿ ñ íàøèìè áûòîâûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè: òî÷êè a è b 
ëåæàò íà êðàþ îòðåçêà, à íå âíóòðè). Äîêàæåì ýòî, íàïðèìåð, äëÿ a.
     Äëÿ ëþáîãî èíòåðâàëà (a − δ; a + δ) èìååì

                    (a − δ; a + δ) − [a; b] = (a − δ; a) 6= ∅.

×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Ñëåäóþùåå ïîíÿòèå îäíî èç ñàìûõ âàæíûõ äëÿ òîïîëîãèè è ìàòåìàòè-
÷åñêîãî àíàëèçà.
  1 Íàðèñóéòå êàðòèíêó.

Страницы