Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∼
x
0
(x
n
)
(y
n
) n
x
n
= O(y
n
) n → ∞,
α
n
x
n
=
α
n
y
n
x
n
= O(y
n
) n → ∞
def
⇔ ∃(α
n
) : ∀n x
n
= α
n
y
n
∧ α
n
x
n
∼ y
n
x
n
= O(y
n
)
n y
n
6= 0 x
n
= O(y
n
) n → ∞
x
n
y
n
lim
x
n
y
n
x
n
= O(y
n
)
n → ∞
f(x) g(x) x → x
0
f(x) = O
¡
g(x)
¢
x → x
0
,
x
0
α(x) x f(x) =
α(x)g(x)
g(x) 6= 0
x
0
f(x) = O
¡
g(x)
¢
x → x
0
◦
U
δ
(x
0
)
f(x)
g (x )
lim
x→x
0
f(x)
g (x )
= A 6= ∞
f(x) = O
¡
g(x)
¢
x → x
0
x
n
= O(1) n → ∞
(x
n
)
Ëåêöèÿ 15                                                             93


    êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî ââåäåííîå îòíî-
øåíèå ∼ îáëàäàåò ñâîéñòâàìè ðåôëåêñèâíîñòè, ñèììåòðè÷íîñòè è òðàíçè-
òèâíîñòè, òî åñòü äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà
ìíîæåñòâå âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (èëè ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ â íåêî-
òîðîé îêðåñòíîñòè x0 )
   Ñëåäóþùèå äâà îïðåäåëåíèÿ íåìíîãî îáîáùàþò ïðåäûäóùèå:
   Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn ) åñòü  O-áîëüøîå
îò (yn ) ïðè n ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè  è ïèøóò

                        xn = O(yn ) ïðè n → ∞,

êîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü αn , ÷òî xn =
αn yn :
                           def
   xn = O(yn ) ïðè n → ∞ ⇔ ∃(αn ) : ∀n xn = αn yn ∧ αn îãðàíè÷åíà

    ÷àñòíîñòè, åñëè xn ∼ yn ìîæåì íàïèñàòü xn = O(yn ). Îáðàòíîå,
î÷åâèäíî, íåâåðíî.
   Òåîðåìà. Åñëè ïðè âñåõ n èìååì yn 6= 0, òî xn = O(yn ) ïðè n → ∞
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xynn îãðàíè÷åíà.
   Åñëè âñïîìíèòü î òîì, ÷òî âñÿêàÿ ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðà-
íè÷åíà, òî ïðîñòûì ñëåäñòâèåì ýòîé òåîðåìû áóäåò
   Òåîðåìà. Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë lim x    yn , òî xn = O(yn )
                                                      n


ïðè n → ∞.
   Äëÿ ôóíêöèé âñå ñîîòâåòñòâóþùèå ðåçóëüòàòû âûãëÿäÿò òàê.
   Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî f (x) åñòü Î-áîëüøîå îò g(x) ïðè x → x0
è ïèøóò:                       ¡   ¢
                     f (x) = O g(x) ïðè x → x0 ,
êîãäà ñóùåñòâóþò ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 è îãðàíè÷åííàÿ â íåé
ôóíêöèÿ α(x) òàêèå, ÷òî ïðè âñåõ x èç ýòîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè f (x) =
α(x)g(x).
     Òåîðåìà. Åñëè
                 ¡    ¢ 6= 0 â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè
                     g(x)
x0 , òî f (x) = O g(x) ïðè x → x0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâó-
                             ◦
                                                         f (x)
åò ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü U δ (x0 ), â êîòîðîé ôóíêöèÿ   g(x) îãðàíè÷åíà.
    ÷àñòíîñòè, åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë       lim f (x) = A 6= ∞,
            ¡    ¢                                 0 x→x g(x)
òî f (x) = O g(x) ïðè x → x0 .
   Ïðèìåðû. 1) Ñîîòíîøåíèå xn = O(1) ïðè n → ∞ îçíà÷àåò â òî÷íîñòè,
÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xn )  îãðàíè÷åíà.

Страницы