Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

α
n
α
n
−−−−→
n→∞
1 ∀n x
n
= α
n
y
n
.
n y
n
6= 0
(x
n
) (y
n
)
lim
x
n
y
n
= 1.
α
n
=
x
n
y
n
x
n
= n y
n
= n +
√
n
lim
n→∞
n
n +
√
n
= lim
n→∞
1
1 +
1
√
n
= 1.
n ∼ (n +
√
n)
1
n+100
∼
1
n
lim
n→∞
1/n + 100
1/n
= lim
n→∞
n
n + 100
= lim
n→∞
1
1 +
100
n
= 1.
n
√
n ∼ 1
f g x
x
0
f(x) ∼ g(x) x → x
0
◦
U
δ
(x
0
) α(x)
∀x ∈
◦
U
δ
(x
0
) f(x) = α(x)g(x) lim
x→x
0
α(x) = 1.
g(x) 6= 0
x
0
f(x) ∼ g(x) x → x
0
lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= 1.
x → 0
sin x ∼ x; ln(1 + x) ∼ x; (a
x
− 1) ∼ x ln a;
£
(1 + x)
α
− 1
¤
∼ αx.
92                                                             Êëåâ÷èõèí Þ.À


αn , ÷òî:
                       αn −−−−→ 1 è ∀n xn = αn yn .
                             n→∞



    Òåîðåìà. Åñëè ïðè ëþáûõ n èìååì yn 6= 0, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
(xn ) è (yn ) ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
                                         xn
                                   lim      = 1.
                                         yn
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î òðèâèàëüíî, íàäî ïðîñòî âçÿòü αn = xynn .
                                            √
   Ïðèìåðû. 1) Åñëè xn = n, à yn = n + n, òî ýòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ýêâèâàëåíòíû, òàê êàê
                                n         1
                       lim       √ = lim       = 1.
                       n→∞   n + n n→∞ 1 + √1n
                                              √
     Òàêèì îáðàçîì, ìîæåì íàïèñàòü n ∼ (n + n).
                       1
     2) Äîêàæåì, ÷òî n+100 ∼ n1 . Äåéñòâèòåëüíî,

                 1/n + 100           n          1
             lim           = lim        = lim        = 1.
             n→∞    1/n     n→∞ n + 100  n→∞ 1 + 100
                                                  n
                            √
     3) Êàê ìû óæå äîêàçàëè n n ∼ 1.
  Îïðåäåëåíèå Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèè f è g ýêâèâàëåíòíû ïðè x ñòðå-
ìÿùåìñÿ ê x0 (è ïèøóò f (x) ∼ g(x) ïðè x → x0 ), êîãäà ñóùåñòâóåò òà-
                               ◦
êàÿ ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü U δ (x0 ) è ôóíêöèÿ α(x), îïðåäåëåííàÿ â ýòîé
îêðåñòíîñòè, ÷òî
                   ◦
              ∀x ∈ U δ (x0 ) f (x) = α(x)g(x) è       lim α(x) = 1.
                                                      x→x0

  Òåîðåìà. Åñëè ôóíêöèÿ g(x) 6= 0 â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíî-
ñòè òî÷êè x0 , òî f (x) ∼ g(x) ïðè x → x0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
                                         f (x)
                                   lim         = 1.
                                x→x0     g(x)
   Ýòà òåîðåìà íå ìåíåå î÷åâèäíà, ÷åì äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
   Ïðèìåðû. Âñïîìèíàÿ ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë è ñëåäñòâèÿ èç
âòîðîãî, ìîæåì íàïèñàòü ïðè x → 0
                                                   £           ¤
      sin x ∼ x; ln(1 + x) ∼ x; (ax − 1) ∼ x ln a; (1 + x)α − 1 ∼ αx.

Страницы