Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x = (x
1
, x
2
)
x = (x
1
, x
2
)
−x =
(−x
1
, −x
2
)
f
F (x) = f(x) − f(−x)
x
1
F
−x
1
F (−x
1
) = f(−x
1
) − f(x
1
) = −
¡
f(x
1
) − f(−x
1
)
¢
= −F (x
1
).
F
x
0
F (x
0
) =
0 f(x
0
) = f(−x
0
)
f [a; b]
g [A; B]
f
∀x ∈ [a; b] ⇒ g
¡
f(x)
¢
= x ∀y ∈ [A; B] ⇒ f
¡
g(y)
¢
= y.
f
[a; b] [a; b] A = f(a) B = f(b)
g f
[
A
;
B
]
A = f(a) B = f(b)
y ∈ [A; B] x ∈ [a; b] y = f(x)
g(y) = x x
y
90                                                       Êëåâ÷èõèí Þ.À


     ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
    Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà èìååò ãåîìåòðè÷åñêèé õàðàêòåð. È äëÿ åå ôîðìó-
ëèðîâêè íàì ïîíàäîáÿòñÿ íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü
ïëîñêîñòü, íà êîòîðîé ôèêñèðóåì ñèñòåìó êîîðäèíàò. Áóäåì îáîçíà÷àòü
x = (x1 , x2 )  òî÷êè ýòîé ïëîñêîñòè.
    Îïðåäåëåíèå. Äâå òî÷êè, ëåæàùèå íà îäíîé îêðóæíîñòè, íàçûâàþòñÿ
àíòèïîäàëüíûìè,1 åñëè îíè ëåæàò íà (ïðîòèâîïîëîæíûõ) êîíöàõ îäíîãî
äèàìåòðà.
    Î÷åâèäíî, åñëè îêðóæíîñòü èìååò öåíòð â íóëå è òî÷êà x = (x1 , x2 )
ëåæèò íà îäíîì êîíöå äèàìåòðà, òî àíòèïîäàëüíîé áóäåò òî÷êà −x =
(−x1 , −x2 ). (Íàðèñóéòå êàðòèíêó).
    Òåîðåìà (îá àíòèïîä     àëüíûõ òî÷êàõ). Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà
îêðóæíîñòè, òî ñóùåñòâóþò àíòèïîäàëüíûå òî÷êè, â êîòîðûõ îíà ïðè-
íèìàåò îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ.
    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ðàññìîòðèì íîâóþ ôóíêöèþ íà îêðóæíîñòè:
F (x) = f (x) − f (−x). Îíà íåïðåðûâíà, êàê ðàçíîñòü äâóõ íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé. Âçÿâ ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x1 , âû÷èñëèì çíà÷åíèå ôóíêöèè F â
àíòèïîäàëüíîé òî÷êå −x1 :
                                           ¡                  ¢
          F (−x1 ) = f (−x1 ) − f (x1 ) = − f (x1 ) − f (−x1 ) = −F (x1 ).
Òî åñòü â àíòèïîäàëüíûõ òî÷êàõ ôóíêöèÿ F ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ðàçíûõ
çíàêîâ. Ïî òåîðåìå Êîøè î íóëÿõ, ñóùåñòâóåò òî÷êà x0 , â êîòîðîé F (x0 ) =
0, òî åñòü f (x0 ) = f (−x0 ).
    ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
   Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà ïðîìåæóòêå [a; b]. Íà-
ïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ g , îïðåäåëåííàÿ íà ïðîìåæóòêå [A; B] íàçûâàåòñÿ
îáðàòíîé ê f , åñëè
                       ¡     ¢                     ¡    ¢
        ∀x ∈ [a; b] ⇒ g f (x) = x è ∀y ∈ [A; B] ⇒ f g(y) = y.
     Òåîðåìà (î ñóùåñòâîâàíèè îáðàòíîé ôóíêöèè). Åñëè f íåïðåðûâíà íà
[a; b], ñòðîãî âîçðàñòàåò íà [a; b] è A = f (a), B = f (b), òî ñóùåñòâóåò
ôóíêöèÿ g îáðàòíàÿ ê f . Ïðè ýòîì îíà ñòðîãî âîçðàñòàåò è íåïðåðûâíà
íà ïðîìåæóòêå [A; B].
     Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Øàã 1. Äîêàæåì ñíà÷àëà ñóùåñòâîâàíèå. Òàê
êàê A = f (a) è B = f (b), ïî òåîðåìå Êîøè î ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèÿõ
äëÿ ëþáîãî y ∈ [A; B] íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî x ∈ [a; b], ÷òî y = f (x). Ïî
îïðåäåëåíèþ ïîëîæèì g(y) = x è ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, ò.å. ÷èñëî x
äëÿ êàæäîãî y îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî
     1 Îò ñëîâà àíòèïîä

Страницы