Введение в математический анализ. Клевчихин Ю.А. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

f ∈ C[a; b]
f(a) = A f(b) = B y
0
A B
x
0
∈ [a; b] f(x
0
) = y
0
[a; b]
A < B A 6 y
0
6 B F (x) = f(x) − y
0
[a; b] F (a) = f(a) − y
0
= A − y
0
< 0
F (b) = f(b) − y
0
= B − y
0
> 0
x
0
F
(
x
0
) = 0 f
(
x
0
)
−
y
0
= 0
f(x
0
) = y
0
f ∈ C[a; b] A = inf
x∈[a;b]
f(x) B = sup
x∈[a;b]
f(x) y
0
∈ [A; B]
x
0
∈ [a; b] f(x
0
) = y
0
x
1
x
2
A B [x
1
; x
2
] x
1
< x
2
[x
2
; x
1
]
x
0
∈ [x
1
; x
2
] ⊂ [a; b] f(x
0
) = y
0
f : [a; b] → [a; b] x
0
f f(x
0
) = x
0
f : [a; b] → [a; b]
x ∈ [a; b] a 6 f(x) 6 b
f : [a; b] → [a; b]
f
F (x) = f(x) − x
[a; b]
F (a) = f(a) − a > 0 F (b) = f(b) − b 6 0
x
0
F (x
0
) = 0 f(x
0
) − x
0
= 0
f(x
0
) = x
0
Ëåêöèÿ 14                                                                  89


    Òåîðåìà (Î. Êîøè î ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèÿõ). Åñëè f ∈ C[a; b] è
f (a) = A, f (b) = B , òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà y0 ìåæäó A è B íàéäåòñÿ òàêîå
x0 ∈ [a; b], ÷òî f (x0 ) = y0 .

     Èíîãäà ýòó òåîðåìó åùå ôîðìóëèðóþò òàê: íåïðåðûâíàÿ ôóíê-
     öèÿ ïðèíèìàåò âñå ïðîìåæóòî÷íûå çíà÷åíèÿ ìåæäó òåìè,
     êîòîðûå îíà ïðèíèìàåò íà êîíöàõ ïðîìåæóòêà [a; b].

    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðåäïîëîæèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî
A < B è A 6 y0 6 B . Ðàññìîòðèì íîâóþ ôóíêöèþ F (x) = f (x) − y0 .
Î÷åâèäíî, îíà íåïðåðûâíà íà [a; b] è F (a) = f (a) − y0 = A − y0 < 0,
F (b) = f (b) − y0 = B − y0 > 0. Ïîýòîìó, ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå (Î.Êîøè
î íóëÿõ) ñóùåñòâóåò òî÷êà x0 , â êîòîðîé F (x0 ) = 0, òî åñòü f (x0 ) − y0 = 0
èëè f (x0 ) = y0 .
    ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
    Ïðèìåíåíèå 2-îé òåîðåìû Âåéåðøòðàññà ïîçâîëÿåò íåìíîãî óñèëèòü ïî-
ñëåäíþþ òåîðåìó.
    Ñëåäñòâèå. (Óñèëåíèå òåîðåìû Î. Êîøè î ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèÿõ)
Åñëè f ∈ C[a; b] è A = inf f (x) B = sup f (x), òî äëÿ ëþáîãî y0 ∈ [A; B]
                       x∈[a;b]         x∈[a;b]
ñóùåñòâóåò x0 ∈ [a; b], äëÿ êîòîðîãî f (x0 ) = y0 .
    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî 2-îé òåîðåìå Âåéåðøòðàññà ñóùåñòâóþò
òî÷êè x1 , x2 , â êîòîðûõ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå
çíà÷åíèÿ (A è B ñîîòâåòñòâåííî). Íà ïðîìåæóòêå [x1 ; x2 ] (â ñëó÷àå x1 < x2
è [x2 ; x1 ] â ñëó÷àå ïðîòèâîïîëîæíîãî íåðàâåíñòâà) âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ
òåîðåìû Êîøè î ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèÿõ, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òî÷êà
x0 ∈ [x1 ; x2 ] ⊂ [a; b], â êîòîðîé f (x0 ) = y0 .
    ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
     êà÷åñòâå ïðèìåíåíèÿ äîêàçàííûõ òåîðåì ïðèâåäåì íåêîòîðûå ðåçóëü-
òàòû ÷àñòî èñïîëüçóåìûå â ïðèëîæåíèÿõ.
    Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü f : [a; b] → [a; b]. Òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ íåïîäâèæ-
íîé äëÿ f , åñëè f (x0 ) = x0 .
    Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèå f : [a; b] → [a; b] íåòðèâèàëüíî. Îíî îçíà÷àåò, ÷òî
äëÿ ëþáûõ x ∈ [a; b] äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà a 6 f (x) 6 b.
    Òåîðåìà (î ñóùåñòâîâàíèè íåïîäâèæíîé òî÷êè) Åñëè f : [a; b] → [a; b]
 íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî f èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó.
    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ F (x) = f (x) − x.
Îíà íåïðåðûâíà íà [a; b], êàê ðàçíîñòü äâóõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. Êðîìå
òîãî, F (a) = f (a) − a > 0, à F (b) = f (b) − b 6 0. Ïî òåîðåìå Êîøè î
íóëÿõ, ñóùåñòâóåò òî÷êà x0 , â êîòîðîé F (x0 ) = 0, òî åñòü f (x0 ) − x0 = 0
èëè f (x0 ) = x0 .

Страницы